2cos3x=-1

Давайте решим уравнение \( 2\cos 3x = -1 \) пошагово и подробно объясним каждое действие.

Шаг 1: Перепишем уравнение

Исходное уравнение: \[ 2\cos 3x = -1 \]

Для удобства, выразим косинус: \[ \cos 3x = \frac{-1}{2} \]

Шаг 2: Решение уравнения \(\cos 3x = -\frac{1}{2}\)

Это классическое тригонометрическое уравнение. Нам нужно найти все значения \( 3x \), при которых косинус равен \(-\frac{1}{2}\).

Шаг 3: Общие значения угла, для которых \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\)

Из тригонометрии известно, что:

\[ \cos \theta = -\frac{1}{2} \]

при:

\[ \theta = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \theta = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Это связано с тем, что косинус принимает это значение в двух точках на единичной окружности в промежутке от 0 до \( 2\pi \).

Шаг 4: Замена \(\theta = 3x\)

Рассмотрим две ситуации:

1. \( 3x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)
2. \( 3x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \)

где \( n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 5: Решение для \( x \)

Делим обе части каждого уравнения на 3, чтобы найти \( x \):

1. \[ x = \frac{1}{3} \left( \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \]

2. \[ x = \frac{1}{3} \left( \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \right) = \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \]

Итоговое решение:

\[ \boxed{ x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x = \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} } \]

Это решение включает все корректные значения \( x \), поскольку тригонометрическое уравнение имеет бесконечно много решений, отличающихся на периоды.

Если есть дополнительные вопросы или необходимость решения на конкретном интервале, скажите!