(x-1)4-5(x-1)2-6=0 если корней несколько запишите их сумму

Рассмотрим уравнение:
\[(x - 1)^4 - 5(x - 1)^2 - 6 = 0\]

Цель — понять решение этого уравнения и найти сумму всех его корней.

Шаг 1: Вводим новую переменную

Обозначим:
\[ t = (x - 1)^2 \]

Тогда уравнение перепишется в виде:
\[ t^2 - 5t - 6 = 0 \]

Шаг 2: Решаем полученное квадратичное уравнение по t

Используем формулу для квадратичных уравнений:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь:

• \( a = 1 \)
• \( b = -5 \)
• \( c = -6 \)

Подставляем:
\[ t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times (-6)}}{2 \times 1} \]

Вычислим дискриминант:
\[ D = 25 + 24 = 49 \]

Достаём квадратный корень:
\[ \sqrt{D} = 7 \]

Теперь найдём два возможных значения для \( t \):
\[ t_1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
\[ t_2 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Шаг 3: Анализируем полученные значения \( t \)

• \( t = (x - 1)^2 \) всегда неотрицательно (\( \geq 0 \)), следовательно, отрицательное значение \( t = -1 \) отклоняется.

• Значит, из возможности \( t = -1 \) у нас не будет решений для \( x \).

• Остается только \( t = 6 \).

Шаг 4: Находим \( x \)

Теперь решим:
\[ (x - 1)^2 = 6 \]

Извлекаем корень:
\[ x - 1 = \pm \sqrt{6} \]

Следовательно:
\[ x = 1 \pm \sqrt{6} \]

Итоговые корни:
\[ x_1 = 1 + \sqrt{6} \]
\[ x_2 = 1 - \sqrt{6} \]

Шаг 5: Находим сумму корней

Сумма корней:
\[ x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{6}) + (1 - \sqrt{6}) = 1 + 1 = 2 \]

Итог:

Корни уравнения: \( x = 1 + \sqrt{6} \) и \( x = 1 - \sqrt{6} \)
Сумма корней: \(\boxed{2}\)

Если возникнут дополнительные вопросы — обращайся!