Рассмотрим уравнение:
[(x - 1)^4 - 5(x - 1)^2 - 6 = 0]
Цель — понять решение этого уравнения и найти сумму всех его корней.
Шаг 1: Вводим новую переменную
Обозначим:
[ t = (x - 1)^2 ]
Тогда уравнение перепишется в виде:
[ t^2 - 5t - 6 = 0 ]
Шаг 2: Решаем полученное квадратичное уравнение по t
Используем формулу для квадратичных уравнений:
[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
Здесь:
- ( a = 1 )
- ( b = -5 )
- ( c = -6 )
Подставляем:
[ t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times (-6)}}{2 \times 1} ]
Вычислим дискриминант:
[ D = 25 + 24 = 49 ]
Достаём квадратный корень:
[ \sqrt{D} = 7 ]
Теперь найдём два возможных значения для ( t ):
[ t_1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 ]
[ t_2 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 ]
Шаг 3: Анализируем полученные значения ( t )
( t = (x - 1)^2 ) всегда неотрицательно (( \geq 0 )), следовательно, отрицательное значение ( t = -1 ) отклоняется.
Значит, из возможности ( t = -1 ) у нас не будет решений для ( x ).
Остается только ( t = 6 ).
Шаг 4: Находим ( x )
Теперь решим:
[ (x - 1)^2 = 6 ]
Извлекаем корень:
[ x - 1 = \pm \sqrt{6} ]
Следовательно:
[ x = 1 \pm \sqrt{6} ]
Итоговые корни:
[ x_1 = 1 + \sqrt{6} ]
[ x_2 = 1 - \sqrt{6} ]
Шаг 5: Находим сумму корней
Сумма корней:
[ x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{6}) + (1 - \sqrt{6}) = 1 + 1 = 2 ]
Итог:
Корни уравнения: ( x = 1 + \sqrt{6} ) и ( x = 1 - \sqrt{6} )
Сумма корней: (\boxed{2})
Если возникнут дополнительные вопросы — обращайся!
