Постройте график

Давайте подробно решим задачу по построению графика функции \[ y = -1 - \frac{x - 4}{x^2 - 4x} \] **Шаг 1: Упростим выражение функции.** Обратим внимание на знаменатель: \[ x^2 - 4x = x(x - 4) \] Тогда функция запишется так: \[ y = -1 - \frac{x - 4}{x(x - 4)} \] Обратите внимание, что числитель \[ x - 4 \] и часть в знаменателе \[ x - 4 \]. Для упрощения разделим числитель и знаменатель, если это возможно: - Если \( x \neq 4 \), то \[ \frac{x - 4}{x(x - 4)} = \frac{1}{x} \] (так как \( x - 4 \neq 0 \)). Тогда для \( x \neq 4 \), функция упрощается до: \[ y = -1 - \frac{1}{x} \] **Шаг 2: Уточним область определения.** - Знаменатель равен нулю, когда \( x = 0 \) или \( x = 4 \). Следовательно, функция определена для всех **кроме** \( x = 0 \) и \( x=4 \). **Шаг 3: Построение графика на отдельных участках.** - Для \( x \neq 4 \), функция равна: \[ y = -1 - \frac{1}{x} \] Это гипербола, которая имеет две ветви: на \( x > 0 \) и на \( x < 0 \). Также необходимо учесть, что в точке \( x=4 \), функция является недопустимой, потому что исходное выражение делит на ноль. **Шаг 4: Построение графика** - **Для \( x > 0 \), \( x \neq 4 \):** \[ y = -1 - \frac{1}{x} \] Эта кривая приближается к \( y = -1 \) по мере увеличения \( x \) и уходит к \(-\infty \) при \( x \to 0^+ \). - **Для \( x < 0 \):** \[ y = -1 - \frac{1}{x} \] На этом участке, когда \( x \to 0^- \), \( y \to +\infty \). при \( x \to -\infty \), \( y \to -1 \) (так как \( 1/x \to 0 \)), это асимптота. - В точке \( x=4 \): есть вертикальная асимптота, потому что исходный знаменатель равен нулю и выражение не определено. **Шаг 5: Итог** - Построим гиперболу \( y = -1 - 1/x \) на двух интервалах: \( (-\infty, 0) \) и \( (0, 4) \), и затем на \( (4, +\infty) \). - Учтем асимптоты: - Горизонтальная: \( y = -1 \), - Вертикальная: \( x=0 \) и \( x=4 \). Теперь у вас есть полная идея, как построить график данной функции. Если потребуется, я могу помочь с более точной прорисовкой или графическими средствами.