прямоугольный треугольник с катетами 9 см и 40 см вписан в окружность. чему равен радиус этой окружности?

Давайте решим задачу пошагово и подробно.

Дано:

• Прямоугольный треугольник с катетами 9 см и 40 см,
• Он вписан в окружность (то есть, круг, в который вписан этот треугольник).

Что нужно найти:
Радиус окружности, вписанной в треугольник (или радиус окружности, в которую вписан треугольник).

Шаг 1. Определим гипотенузу треугольника

Так как треугольник прямоугольный, гипотенуза является наибольшей стороной.
Для вычисления гипотенузы используем теорему Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

где:

• \(a = 9\) см,
• \(b = 40\) см.

Подставим:

\[ c = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41 \]

Итак, гипотенуза равна 41 см.

Шаг 2. Связь между радиусом окружности, описанной около прямого треугольника, и гипотенузой

Обратите внимание, что вписанная окружность (которая внутри треугольника) — это окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника.
Но в условии сказано, что треугольник вписан в окружность, то есть, существует описанная окружность, проходящая через все три вершины треугольника.

Для прямоугольного треугольника описанная окружность — это окружность, в которую треугольник вписан.
И известно, что радиус описанной окружности прямого треугольника равен ** половине гипотенузы**.

Это очень важное свойство:

Вписанная окружность вокруг прямого треугольника — радиус окружности, описанной вокруг него, равен половине гипотенузы.

То есть:

\[ R = \frac{c}{2} \]

Где:

• \( R \) — радиус описанной окружности,
• \( c \) — гипотенуза.

Подставим числа:

\[ R = \frac{41}{2} = 20.5 \]

Ответ:

Радиус окружности, в которую вписан данный прямоугольный треугольник, равен 20,5 см.

Если потребуется более подробное объяснение или есть дополнительные вопросы, — пишите!