Давайте решим задачу пошагово и подробно.
Дано:
- Прямоугольный треугольник с катетами 9 см и 40 см,
- Он вписан в окружность (то есть, круг, в который вписан этот треугольник).
Что нужно найти:
Радиус окружности, вписанной в треугольник (или радиус окружности, в которую вписан треугольник).
Шаг 1. Определим гипотенузу треугольника
Так как треугольник прямоугольный, гипотенуза является наибольшей стороной.
Для вычисления гипотенузы используем теорему Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
]
где:
Подставим:
[
c = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41
]
Итак, гипотенуза равна 41 см.
Шаг 2. Связь между радиусом окружности, описанной около прямого треугольника, и гипотенузой
Обратите внимание, что вписанная окружность (которая внутри треугольника) — это окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника.
Но в условии сказано, что треугольник вписан в окружность, то есть, существует описанная окружность, проходящая через все три вершины треугольника.
Для прямоугольного треугольника описанная окружность — это окружность, в которую треугольник вписан.
И известно, что радиус описанной окружности прямого треугольника равен ** половине гипотенузы**.
Это очень важное свойство:
Вписанная окружность вокруг прямого треугольника — радиус окружности, описанной вокруг него, равен половине гипотенузы.
То есть:
[
R = \frac{c}{2}
]
Где:
- ( R ) — радиус описанной окружности,
- ( c ) — гипотенуза.
Подставим числа:
[
R = \frac{41}{2} = 20.5
]
Ответ:
Радиус окружности, в которую вписан данный прямоугольный треугольник, равен 20,5 см.
Если потребуется более подробное объяснение или есть дополнительные вопросы, — пишите!
