Дано: четырёхугольник (ABCD), в который вписана окружность. Известно, что (AB = 15), (CD = 35). Нужно найти периметр этого четырёхугольника (P).
Шаг 1. Свойство вписанного четырёхугольника
Если в четырёхугольник вписана окружность, то сумма длин противолежащих сторон равна:
[
AB + CD = BC + DA
]
То есть, сумма длин сторон (AB) и (CD) равна сумме сторон (BC) и (DA).
Шаг 2. Обозначения
Обозначим:
- (AB = 15),
- (CD = 35),
- (BC = x),
- (DA = y).
По свойству вписанного четырёхугольника:
[
AB + CD = BC + DA
]
Подставим известные значения:
[
15 + 35 = x + y
]
[
50 = x + y
]
Итак, сумма соседних сторон:
[
x + y = 50
]
Шаг 3. Найти периметр
Периметр (P) четырёхугольника:
[
P = AB + BC + CD + DA
]
Подставим известные и обозначенные стороны:
[
P = 15 + x + 35 + y
]
Группируем:
[
P = (15 + 35) + (x + y) = 50 + (x + y)
]
Из предыдущего шага:
[
x + y = 50
]
Следовательно,
[
P = 50 + 50 = 100
]
Ответ:
[
\boxed{100}
]
Периметр четырёхугольника (ABCD) равен 100.
