Здравствуйте! Рассмотрим каждое предложение и определим, в каких случаях частица "не" с глаголом пишется слитно, а в каких — раздельно.
Общее правило:
"не" и глагол пишутся слитно, если можно заменить "не" с глаголом синонимом без "не" (например, "нездоровится" — "болен", "недоумевал" — "запутался"), и глагол отрицательное полностью, то есть "не" сливается с глаголом.
Если же есть противопоставление, смысл неполной отрицательности (например, "не все", "не сразу", "не всегда"), то "не" пишется раздельно.
Теперь по предложенным вариантам:
Малышу (НЕ)здоровится —
Можно заменить на "болен". Тогда: "Малышу болен" — подходит, значит "не" сливается, пишется слитно.
Ответ: слитно.
Она умела (НЕ)НАВИДЕТЬ всем сердцем —
Можно заменить: "Она не возненавидела" или "она не возненавидела". В данном случае "не" с глаголом, выражающим отрицание, — слитно.
Ответ: слитно.
Он долго (НЕ)ДОУМЕВАЛ от случившегося —
Аналогично, можно заменить: "Он не додумал" или "он запутался", значит "не" с глаголом — слитно.
Ответ: слитно.
Сын часто (НЕ)ДОЕДАЕТ свою порцию —
"Он не доедает" — отрицание, пишется слитно.
Ответ: слитно.
Ему (НЕ)ДОСТАЁТ ума —
"У него не достаёт ума" — отрицание, слитно.
Ответ: слитно.
Для него важно (НЕ)ПОТЕРЯТЬ уважение в глазах окружающих —
"не потерять" — отрицание, пишется слитно.
Ответ: слитно.
Мы (НЕ)ДОСМОТРЕЛИ фильм до конца —
"не досмотрели" — отрицание, слитно.
Ответ: слитно.
Ребёнок (НЕ)ДОСТАВАЛ до верха книжной полки —
"не доставал" — отрицание, слитно.
Ответ: слитно.
Учитель (НЕ)ВЗЛЮБИЛ мальчика —
В данном случае — "не влюбил" (отрицание действия), значит слитно.
Ответ: слитно.
Общий вывод:
Практически во всех приведённых примерах "не" с глаголами пишется слитно, так как выражают отрицание без противопоставления или специальных случаев.
Если нужны дополнительные объяснения или разъяснения по конкретным правилам, я буду рад помочь!