Кристина увлеклась алмазной вышивкой количество стразов за первые полчаса равно 305 Определи вероятность того что за следующие 30 минут Кристина приклеит не больше 395 стразов
Давайте разберёмся с этой задачей пошагово.
Понимание задачи:
- За первые 30 минут Кристина приклеила 305 стразов.
- Нам нужно найти вероятность того, что за следующие 30 минут она приклеит не больше 395 стразов.
Что предполагает задача?
Задача касается вероятность события в рамках процесса, который можно моделировать с помощью пуассоновского распределения. Обычно, если количество событий (стразов) за равные промежутки времени в среднем происходит с постоянной скоростью, то число событий можно моделировать пуассоновским распределением.
Шаг 1: Определение интенсивности (λ)
За первые 30 минут Кристина приклеила 305 стразов. Предположим, скорость клеения стразов остаётся постоянной.
Тогда интенсивность (среднее количество за 30 минут) равна:
\[ λ_{30} = 305 \]
Шаг 2: Определение параметра для следующего периода
Следующие 30 минут — тот же промежуток времени; чтобы найти вероятность, что она приклеит не больше 395 стразов, рассмотрим общий интервал времени — следующие 30 минут, то есть тот же интервал.
Модель пуассона:
Если число приклеенных стразов за 30 минут — это случайная величина \(X\), то:
\[
X \sim \text{Poisson}(λ=305)
\]
Общая вероятность того, что за 30 минут она приклеит не более 395 стразов: \[ P(X \le 395) \]
Шаг 3: Вычисление вероятности
Для пуассоновского распределения:
\[ P(X \le k) = \sum_{x=0}^{k} \frac{e^{-λ} λ^x}{x!} \]
где \(λ = 305\), \(k = 395\).
Важное замечание:
Длина интервала — 30 минут. Важная особенность — чтобы понять, с какой средней скоростью она клеит за это время, и убедиться, что мы правильно интерпретируем задачу.
Шаг 4: Аппроксимация (больше удобство)
Поскольку \(λ=305\), а мы ищем вероятность, что число стразов будет не больше 395, что чуть больше этого среднего, — можно использовать нормальную аппроксимацию Пуассона:
\[ X \sim \text{Normal}(\mu=λ, \sigma=\sqrt{λ}) \quad \Rightarrow \quad N(305, \sqrt{305}) \]
где:
\[ \sigma = \sqrt{305} \approx 17.48 \]
Теперь вычисляем вероятность:
\[ P(X \le 395) \approx P\left( Z \le \frac{395 + 0.5 - 305}{17.48} \right) \] (используем коррекцию Ять, которая прибавляется при применении нормальной аппроксимации к дискретным распределениям).
Подставим значения:
\[ Z = \frac{395.5 - 305}{17.48} \approx \frac{90.5}{17.48} \approx 5.18 \]
Шаг 5: Значение из таблицы стандартного нормального распределения
Стандартное нормальное распределение показывает, что вероятность того, что \(Z \le 5.18\), равна практически 1 (почти 100%).
Итого:
\[ P(X \le 395) \approx 1 \]
Ответ:
Вероятность того, что за следующие 30 минут Кристина приклеит не больше 395 стразов, очень близка к 1 (или почти 100%).
Если ещё что-то нужно пояснить или уточнить, скажи!
