Реши задачу 4.3 на фото

Рассмотрим задачу 4.3:
\[ \sin 1470^\circ + \cos 600^\circ + \tg 945^\circ + \ctg 405^\circ \]

Пробежимся по каждому тригонометрическому выражению.

Шаг 1. Упростим углы, приводя их к основным значениям

1. \( \sin 1470^\circ \)

• каждые 360° значения повторяются, значит определим эквивалентный угол по модулю 360°:
  \[ 1470^\circ \mod 360^\circ \]
• делим 1470 на 360:
  \[ 1470 ÷ 360 = 4 \text{ (целых)} \text{ и остаток } 90^\circ \]
• следовательно:
  \[ 1470^\circ \equiv 90^\circ \ ( mod \ 360^\circ ) \]
• \(\sin 1470^\circ = \sin 90^\circ = 1\)

2. \( \cos 600^\circ \)

• аналогично, ищем остаток при делении на 360°:
  \[ 600^\circ \mod 360^\circ = 600 - 360 = 240^\circ \]
• \(\cos 600^\circ = \cos 240^\circ\)
• \(\cos 240^\circ = -\frac{1}{2}\)

3. \( \tg 945^\circ \)

• ищем остаток при делении на 360°:
  \[ 945 - 2 \times 360 = 945 - 720 = 225^\circ \]
• \(\tg 945^\circ = \tg 225^\circ\)
• \(\tg 225^\circ = 1\)

(так как \(\tg 225^\circ = \tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan 45^\circ = 1\), при этом знак отрицательный, так как в третьей четверти тангенс положителен, так как \(\tan(180^\circ + \theta) = \tan \theta\))

• однако, чтобы быть точнее:
  \[ \tg 225^\circ = \tan (180^\circ + 45^\circ) = \tan 45^\circ = 1 \]
• и знак: в третьей четверти (\(180^\circ\) до \(270^\circ\)) тангенс положительный, значит:
  \[ \tg 225^\circ = 1 \]

4. \( \ctg 405^\circ \)

• ищем остаток:
  \[ 405^\circ - 360^\circ = 45^\circ \]
• \(\ctg 405^\circ = \cot 45^\circ = 1\)

Итог: сложим все полученные значения

\[ \sin 1470^\circ + \cos 600^\circ + \tg 945^\circ + \ctg 405^\circ = 1 + \left( -\frac{1}{2} \right) + 1 + 1 = 1 - \frac{1}{2} + 1 + 1 \]

Создадим сумму: \[ (1 + 1 + 1) - \frac{1}{2} = 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{5}{2}} \]

Если потребуется более подробное объяснение или разбор, скажи!