Точка A(2;27) принадлежит графику функции f(x)=-x²+bx+1 найдите наибольшее значение функции

Давайте разберём задачу поэтапно и подробно, чтобы понять, как найти наибольшее значение функции \(f(x) = -x^2 + bx + 1\), учитывая, что точка \(A(2; 27)\) принадлежит графику этой функции и определить, каким будет наибольшее значение функции.

Шаг 1. Используем информацию о точке \(A(2; 27)\)

Точка принадлежит графику функции, значит, её координаты удовлетворяют уравнению: \[ f(2) = 27 \]

Подставим \(x=2\) в функцию: \[ f(2) = - (2)^2 + b \cdot 2 + 1 \] \[ 27 = -4 + 2b + 1 \]

Объединим подобные члены: \[ 27 = -3 + 2b \]

Теперь решим это уравнение относительно \(b\): \[ 27 + 3 = 2b \] \[ 30 = 2b \] \[ b = 15 \]

Вывод: Значение \(b\) равно 15.

Шаг 2. Запишем полную функцию

Теперь у нас есть функция: \[ f(x) = -x^2 + 15x + 1 \]

Это квадратичная функция, график которой — парабола, открывающаяся вниз (так как коэффициент перед \(x^2\) отрицателен).

Шаг 3. Определим вершину параболы

Наиболее важный аспект — найти максимум функции \(f(x)\), поскольку парабола открыта вниз.

Формула \(x\)-координаты вершины квадратичной функции \(ax^2 + bx + c\): \[ x_{ver} = -\frac{b}{2a} \]

Здесь \(a = -1\), \(b = 15\), \(c = 1\).

Подставим: \[ x_{ver} = -\frac{15}{2 \cdot (-1)} = -\frac{15}{-2} = \frac{15}{2} = 7.5 \]

Шаг 4. Найдём значение функции в вершине

Подставим \(x=7.5\) в функцию \(f(x)\): \[ f(7.5) = - (7.5)^2 + 15 \cdot 7.5 + 1 \]

Посчитаем поэтапно: \[ (7.5)^2 = 56.25 \] \[ f(7.5) = -56.25 + (15 \times 7.5) + 1 \] \[ 15 \times 7.5 = 112.5 \] \[ f(7.5) = -56.25 + 112.5 + 1 = (112.5 - 56.25) + 1 = 56.25 + 1 = 57.25 \]

Итог

Наибольшее значение функции: \[ \boxed{57.25} \]

Это значение достигается в точке \(x=7.5\).

Если понадобится, я могу помочь с другим шагом или объяснить подробнее любую часть!