Определи относительное число распавшихся o-N ядер - радиоактивного элемента за No время, равное 0,22 периода полураспада. (Ответ округли до сотых.)
Давайте разберёмся с задачей пошагово.
Задача:
Определить относительное число распавшихся ядер за время \( t = 0,22 T_{1/2} \), где \( T_{1/2} \) — период полураспада радиоактивного элемента.
Шаг 1: Понять, что такое распад ядер
Когда ядер радиоактивного вещества распадаются, число оставшихся ядер уменьшается со временем по экспоненциальной зависимости:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]
где:
- \( N_0 \) — исходное число ядер,
- \( N(t) \) — число ядер, оставшихся после времени \( t \),
- \( \lambda \) — константа распада.
Шаг 2: Связь периода полураспада и константы распада
Период полураспада \( T_{1/2} \) — это время, за которое распадается половина ядер. Связь:
\[ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \]
Отсюда:
\[ \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \]
Шаг 3: Выразим отношение оставшихся ядер \( N(t) \) к начальной \( N_0 \)
\[ \frac{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda t} \]
Подставим \(\lambda\):
\[ \frac{N(t)}{N_0} = e^{-\frac{\ln 2}{T_{1/2}} \times t} \]
Шаг 4: Подставим \( t = 0,22 T_{1/2} \)
\[ \frac{N(0,22 T_{1/2})}{N_0} = e^{-\frac{\ln 2}{T_{1/2}} \times 0,22 T_{1/2}} \]
Упростим:
\[ \frac{N(0,22 T_{1/2})}{N_0} = e^{-\ln 2 \times 0,22} \]
Шаг 5: Вычислим число оставшихся ядер
\[ \frac{N}{N_0} = e^{-\ln 2 \times 0,22} \]
Используем свойство экспоненты:
\[ e^{-\ln 2 \times 0,22} = (e^{\ln 2})^{-0,22} = 2^{-0,22} \]
Итоговая формула:
\[ \boxed{ \frac{N}{N_0} = 2^{-0,22} } \]
Шаг 6: Оценка и округление
Используем вычисление:
\[ 2^{-0,22} = \frac{1}{2^{0,22}} \]
Приблизительно:
\[ 2^{0,22} \approx e^{0,22 \ln 2} \approx e^{0,22 \times 0,693} \approx e^{0,152} \approx 1,164 \]
Тогда:
\[ \frac{N}{N_0} \approx \frac{1}{1,164} \approx 0,86 \]
Ответ:
Относительное число оставшихся ядер — примерно 0,86.
Финальный ответ: 0,86 (округлено до сотых).
Если нужно было узнать число распавшихся ядер, то:
\[ \text{Доля распавшихся} = 1 - \frac{N}{N_0} \approx 1 - 0,86 = 0,14 \]
Но по условию — число распавшихся ядер за это время — оставшиеся ядер или относительное число оставшихся?
Поскольку в задаче говорится "определи относительное число распавшихся", скорее всего, им нужно отношение распавшихся ядер к исходным.
Тогда:
\[ \text{Относительное число распавшихся} = 1 - \frac{N}{N_0} \approx 1 - 0,86 = 0,14 \]
Ответ: 0,14 (если требуется доля распавшихся).
Итог:
- Оставшиеся ядер: 0,86
- Распавшиеся ядер: 0,14
Пожалуйста, уточните, какой именно показатель вам нужен — оставшиеся или распавшиеся ядер?
Если нужно было именно распавшихся — ответ 0,14.
Если есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
