Рассмотрим задачу о бросании игральной кости дважды. Известно, что сумма очков равна 7. Нужно найти условную вероятность того, что в первый раз выпало меньше 5 очков.
Шаг 1. Определим все возможные исходы, соответствующие сумме 7
При двух бросках игральной кости (каждая с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6), все возможные сочетания (аутсайты), при которых сумма равна 7:
| Первый бросок |
Второй бросок |
Сумма |
| 1 |
6 |
7 |
| 2 |
5 |
7 |
| 3 |
4 |
7 |
| 4 |
3 |
7 |
| 5 |
2 |
7 |
| 6 |
1 |
7 |
Итак, возможные пары — это 6 вариантов.
Шаг 2. Выделим события, которые нас интересуют
- A: Выпасть меньше 5 в первый раз (то есть 1, 2, 3 или 4).
- B: Сумма равна 7 (уже известно, что это условие).
Нам нужно найти условную вероятность ( P(A | B) ), то есть вероятность, что в первый раз выпало меньше 5, при условии, что сумма равна 7.
Шаг 3. Найдём благоприятные исходы, соответствующие событию A ∩ B
Из таблицы видим, что для того, чтобы в первый раз было меньше 5, соответствующие пары —:
Итак, всего 3 исхода.
Шаг 4. Формула условной вероятности
[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} ]
В контексте равновероятных исходов:
( P(B) ) — вероятность того, что сумма равна 7 (при условии уровня равновероятных исходов). Всего 6 исходов, где сумма 7, при равномерных вероятностях, вероятность — это просто количество подходящих исходов.
( P(A \cap B) ) — вероятность того, что сумма равна 7 и в первый бросок выпало меньше 5. Это 3 исхода из общего числа всех исходов, где сумма равна 7.
Шаг 5. Вычисление
Общее число исходов при условии, что сумма равна 7 — 6.
Из них 3 — соответствуют событию, что в первый раз выпало меньше 5.
Следовательно,
[
P(A | B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
]
Итоговый ответ:
Условная вероятность, что в первый раз выпало меньше 5 очков, при условии, что сумма равна 7, равна (\frac{1}{2}).
