Вычислить определенные интегралы: 1. integral (3x ^ 2 - 2x + 1) dx
Давайте пошагово решим данный неопределённый интеграл:
\[ \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx \]
Шаг 1: Разделение интеграла на сумму
Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
\[ \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int 2x \, dx + \int 1 \, dx \]
Шаг 2: Вычисление каждого интеграла по отдельности
\(\int 3x^2 \, dx\):
Используем правило для степени: \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
Здесь \(n=2\), и есть множитель 3, который вынесем:
\[ 3 \int x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} = x^3 \]
\(\int - 2x \, dx\):
Аналогично: \(\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\)
Учитывая множитель -2:
\[ -2 \int x \, dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2 \]
\(\int 1 \, dx\):
Интеграл константы равен самой переменной:
\[ x \]
Шаг 3: Сложение результатов и добавление постоянной
Общий ответ:
\[ x^3 - x^2 + x + C \]
где \(C\) — произвольная константа.
Итог:
\[ \boxed{ \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = x^3 - x^2 + x + C } \]
Если нужно объяснение по какому-либо шагу более подробно, сообщите!
