16 степень х-9 = 9 степень 2х +4

Рассмотрим задачу: \[ 16^{x-9} = 9^{2x+4} \] Наша цель — найти значение \( x \). ### Шаг 1: Представление оснований через степени простых чисел Обратим внимание, что можно представить 16 и 9 через степени 2 и 3 соответственно: \[ 16 = 2^4 \] \[ 9 = 3^2 \] Тогда уравнение превращается в: \[ (2^4)^{x-9} = (3^2)^{2x+4} \] ### Шаг 2: Использование свойства степеней При возведении степени в степень применяется правило: \( (a^m)^n = a^{mn} \). Используем его для обеих частей уравнения: \[ 2^{4(x-9)} = 3^{2(2x+4)} \] Раскроем скобки: \[ 2^{4x - 36} = 3^{4x + 8} \] ### Шаг 3: Решение уравнения через логарифмы Теперь у вас есть уравнение вида: \[ 2^{4x - 36} = 3^{4x + 8} \] Чтобы избавиться от степеней с разными основаниями, возьмем логарифмы обеих частей. Можно взять любой логарифм, например, натуральный или десятичный. Возьмем натуральные: \( \ln \). Заметим, что: \[ \ln(2^{4x - 36}) = \ln(3^{4x + 8}) \] Используем свойство логарифмов: \( \ln(a^b) = b \ln a \). Тогда: \[ (4x - 36) \ln 2 = (4x + 8) \ln 3 \] ### Шаг 4: Раскрываем скобки и собираем уравнение Запишем это как: \[ 4x \ln 2 - 36 \ln 2 = 4x \ln 3 + 8 \ln 3 \] Перенесем все члены, содержащие \( x \), в одну сторону, а остальные — в другую: \[ 4x \ln 2 - 4x \ln 3 = 36 \ln 2 + 8 \ln 3 \] Выделим \( x \): \[ 4x (\ln 2 - \ln 3) = 36 \ln 2 + 8 \ln 3 \] ### Шаг 5: Решаем уравнение относительно \( x \) Теперь найдем \( x \): \[ x = \frac{36 \ln 2 + 8 \ln 3}{4 (\ln 2 - \ln 3)} \] Можно упростить числитель и знаменатель. Вынесем за скобки 4 из числителя: \[ 36 \ln 2 + 8 \ln 3 = 4 \times (9 \ln 2 + 2 \ln 3) \] Тогда: \[ x = \frac{4 (9 \ln 2 + 2 \ln 3)}{4 (\ln 2 - \ln 3)} \] Сократим на 4: \[ x = \frac{9 \ln 2 + 2 \ln 3}{\ln 2 - \ln 3} \] ### Итог: **Ответ:** \[ \boxed{ x = \frac{9 \ln 2 + 2 \ln 3}{\ln 2 - \ln 3} } \] Это точное решение. В числовом виде можно подставить значения логарифмов, если нужно получить приближенную числовую оценку.