16 степень х-9 = 9 степень 2х +4

Рассмотрим задачу:
\[ 16^{x-9} = 9^{2x+4} \]

Наша цель — найти значение \( x \).

Шаг 1: Представление оснований через степени простых чисел

Обратим внимание, что можно представить 16 и 9 через степени 2 и 3 соответственно:
\[ 16 = 2^4 \] \[ 9 = 3^2 \]

Тогда уравнение превращается в:
\[ (2^4)^{x-9} = (3^2)^{2x+4} \]

Шаг 2: Использование свойства степеней

При возведении степени в степень применяется правило: \( (a^m)^n = a^{mn} \).

Используем его для обеих частей уравнения:
\[ 2^{4(x-9)} = 3^{2(2x+4)} \]

Раскроем скобки:
\[ 2^{4x - 36} = 3^{4x + 8} \]

Шаг 3: Решение уравнения через логарифмы

Теперь у вас есть уравнение вида:
\[ 2^{4x - 36} = 3^{4x + 8} \]

Чтобы избавиться от степеней с разными основаниями, возьмем логарифмы обеих частей. Можно взять любой логарифм, например, натуральный или десятичный. Возьмем натуральные: \( \ln \).

Заметим, что:
\[ \ln(2^{4x - 36}) = \ln(3^{4x + 8}) \]

Используем свойство логарифмов: \( \ln(a^b) = b \ln a \).

Тогда:
\[ (4x - 36) \ln 2 = (4x + 8) \ln 3 \]

Шаг 4: Раскрываем скобки и собираем уравнение

Запишем это как:
\[ 4x \ln 2 - 36 \ln 2 = 4x \ln 3 + 8 \ln 3 \]

Перенесем все члены, содержащие \( x \), в одну сторону, а остальные — в другую:
\[ 4x \ln 2 - 4x \ln 3 = 36 \ln 2 + 8 \ln 3 \]

Выделим \( x \):
\[ 4x (\ln 2 - \ln 3) = 36 \ln 2 + 8 \ln 3 \]

Шаг 5: Решаем уравнение относительно \( x \)

Теперь найдем \( x \):
\[ x = \frac{36 \ln 2 + 8 \ln 3}{4 (\ln 2 - \ln 3)} \]

Можно упростить числитель и знаменатель. Вынесем за скобки 4 из числителя:
\[ 36 \ln 2 + 8 \ln 3 = 4 \times (9 \ln 2 + 2 \ln 3) \]

Тогда:
\[ x = \frac{4 (9 \ln 2 + 2 \ln 3)}{4 (\ln 2 - \ln 3)} \]

Сократим на 4:
\[ x = \frac{9 \ln 2 + 2 \ln 3}{\ln 2 - \ln 3} \]

Итог:

Ответ:
\[ \boxed{ x = \frac{9 \ln 2 + 2 \ln 3}{\ln 2 - \ln 3} } \]

Это точное решение. В числовом виде можно подставить значения логарифмов, если нужно получить приближенную числовую оценку.