С задание

Давайте разберем задачу и решение, приведенное на изображении.

Задача — вычислить определенный интеграл:

\[ \int_0^ \infty \frac{2x \, dx}{x^2 + 1} \]

Подход к решению

Чтобы решить этот интеграл, мы используем метод замены переменной, который часто применяется при интегрировании рациональных функций.

Шаг 1: Замена переменной

Обратим внимание, что в числителе у нас есть \(2x\), а в знаменателе \(x^2 + 1\). Это наводит на мысль, что хорошей заменой будет:

\[ t = x^2 + 1 \] Тогда:

\[ dt = 2x \, dx \]

Это означает, что

\[ 2x \, dx = dt \]

Шаг 2: Изменение пределов интегрирования

Когда \(x = 0\):

\[ t = 0^2 + 1 = 1 \]

Когда \(x \to \infty\):

\[ t \to \infty \]

Следовательно, наш интеграл превращается в:

\[ \int_{t=1}^{t=\infty} \frac{1}{t} dt \]

Шаг 3: Вычисление нового интеграла

Этот интеграл очень прост:

\[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{t} dt \]

Это — известный интеграл логарифма:

\[ \left[ \ln t \right]_1^{\infty} = \lim_{b \to \infty} \ln b - \ln 1 \]

Так как \(\ln 1 = 0\), то предел при \(b \to \infty\):

\[ \lim_{b \to \infty} \ln b = \infty \]

Значит, исходный интеграл расходится, то есть его значение стремится к бесконечности.

Итог:

\[ \boxed{ \int_0^{\infty} \frac{2x \, dx}{x^2 + 1} = \infty } \]

Значит, интеграл неограничен и расходится.

Если нужно было показать, что интеграл расходится или найти его конечное значение — ответ будет: он расходится.