С задание

Давайте разберем задачу и решение, приведенное на изображении. Задача — вычислить определенный интеграл: \[ \int_0^ \infty \frac{2x \, dx}{x^2 + 1} \] --- ### Подход к решению Чтобы решить этот интеграл, мы используем метод замены переменной, который часто применяется при интегрировании рациональных функций. --- ### Шаг 1: Замена переменной Обратим внимание, что в числителе у нас есть \(2x\), а в знаменателе \(x^2 + 1\). Это наводит на мысль, что хорошей заменой будет: \[ t = x^2 + 1 \] Тогда: \[ dt = 2x \, dx \] Это означает, что \[ 2x \, dx = dt \] --- ### Шаг 2: Изменение пределов интегрирования Когда \(x = 0\): \[ t = 0^2 + 1 = 1 \] Когда \(x \to \infty\): \[ t \to \infty \] Следовательно, наш интеграл превращается в: \[ \int_{t=1}^{t=\infty} \frac{1}{t} dt \] --- ### Шаг 3: Вычисление нового интеграла Этот интеграл очень прост: \[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{t} dt \] Это — известный интеграл логарифма: \[ \left[ \ln t \right]_1^{\infty} = \lim_{b \to \infty} \ln b - \ln 1 \] Так как \(\ln 1 = 0\), то предел при \(b \to \infty\): \[ \lim_{b \to \infty} \ln b = \infty \] Значит, исходный интеграл **расходится**, то есть его значение стремится к бесконечности. --- ### Итог: \[ \boxed{ \int_0^{\infty} \frac{2x \, dx}{x^2 + 1} = \infty } \] Значит, интеграл **неограничен** и расходится. --- Если нужно было показать, что интеграл расходится или найти его конечное значение — ответ будет: **он расходится**.