2. (1 балл) через точку а окружности с центром в точке 0 радиуса r проведены касательная са и хорда ав, угол между которыми 45°. найдите длину ав (рис. 1).

Давайте подробно решим задачу, чтобы понять, как найти длину хорды \(AB\) в окружности. **Дано:** - Окружность с центром в точке \(O\). - Радиус окружности \(r\). - Точка \(A\) — точка касания окружности с касательной \(s\). - Точка \(V\) — точка на окружности, через которую проведена хорда \(AB\). - Угол между касательной \(s\) в точке \(A\) и хордой \(AB\) равен \(45^\circ\). **Задача:** Найти длину хорды \(AB\). --- ### Шаг 1. Анализ условий - Точка \(A\) — точка касания окружности, значит, радиус \(OA\) перпендикулярен касательной \(s\) в точке \(A\). - Так как \(O\) — центр, то \(\angle OAT = 90^\circ\), где \(T\) — точка касания. Обозначим: - \(A\) — точка касания касательной \(s\) с окружностью. - \(V\) — точка на окружности, через которую проведена хорда \(AB\). --- ### Шаг 2. Рассмотрим угол между касательной и хордой Дано, что угол между касательной \(s\) в точке \(A\) и хордой \(AB\) равен \(45^\circ\). - В первом приближении, в теории касательных и хорд, существует важная геометрическая зависимость: \[ \text{Угол между касательной и хордой в точке касания} = \frac{1}{2} \text{угла, образуемого радиусом и хордой} \] Но здесь, поскольку касательная в точке \(A\), то угол \(\angle T A B\) (где \(T\) — касательная) равен \(45^\circ\). --- ### Шаг 3. Используем свойства радиусов и касательных - Радиус \(OA\) перпендикулярен касательной \(s\). - Угол между касательной в точке \(A\) и хордой \(AB\) равен \(45^\circ\). Это означает, что: - Треугольник, образованный радиусом \(OA\), хордуой \(AB\), и касательной, даст нам информацию о расположении \(AB\) внутри окружности. --- ### Шаг 4. Построение и вывод Рассмотрим следующий важный факт: - Пусть точка \(V\) — точка на окружности, а \(A\) — точка касания. - Угол между касательной и хордой, проведённой к окружности из точки \(A\), равен \(45^\circ\). Из этого следует, что угол между радиусом \(OA\) и хордой \(AB\) в точке \(A\) равен \(90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\), потому что радиус перпендикулярен касательной, а угол между касательной и хордой — \(45^\circ\). --- ### Шаг 5. Вспоминая свойства хорд и радиусов - Пусть \(AB\) — хорда, а \(V\) — точка на окружности, через которую она проведена. - Радиус \(OV\) равен \(r\). - Точка \(A\) — точка касания, поэтому \(\angle O A B = 45^\circ\), так как радиус в точке касания перпендикулярен касательной. --- ### Шаг 6. Используем тригонометрию Рассмотрим панель, где: - \(\angle O A B = 45^\circ\), - \(OA = r\), - \(OV = r\). Итак, в треугольнике \(OAB\): - \(OA = r\), - \(\angle OAB = 45^\circ\), - Хорда \(AB\) — это искомая длина. --- ### Шаг 7. Вывод формулы для длины хорды Длина хорды \(AB\) в окружности радиуса \(r\), образующая с радиусом угол \(\theta\), вычисляется по формуле: \[ AB = 2r \sin \frac{\theta}{2} \] Где \(\theta = 45^\circ\). Подставим: \[ AB = 2r \sin \frac{45^\circ}{2} = 2r \sin 22.5^\circ \] Значение \(\sin 22.5^\circ\): \[ \sin 22.5^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ AB = 2r \times \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = r \sqrt{2 - \sqrt{2}} } \] --- ### Итог: **Длина хорды \(AB\) равна \(r \sqrt{2 - \sqrt{2}}\).**