2. (1 балл) через точку а окружности с центром в точке 0 радиуса r проведены касательная са и хорда ав, угол между которыми 45°. найдите длину ав (рис. 1).
Давайте подробно решим задачу, чтобы понять, как найти длину хорды \(AB\) в окружности.
Дано:
- Окружность с центром в точке \(O\).
- Радиус окружности \(r\).
- Точка \(A\) — точка касания окружности с касательной \(s\).
- Точка \(V\) — точка на окружности, через которую проведена хорда \(AB\).
- Угол между касательной \(s\) в точке \(A\) и хордой \(AB\) равен \(45^\circ\).
Задача:
Найти длину хорды \(AB\).
Шаг 1. Анализ условий
- Точка \(A\) — точка касания окружности, значит, радиус \(OA\) перпендикулярен касательной \(s\) в точке \(A\).
- Так как \(O\) — центр, то \(\angle OAT = 90^\circ\), где \(T\) — точка касания.
Обозначим:
- \(A\) — точка касания касательной \(s\) с окружностью.
- \(V\) — точка на окружности, через которую проведена хорда \(AB\).
Шаг 2. Рассмотрим угол между касательной и хордой
Дано, что угол между касательной \(s\) в точке \(A\) и хордой \(AB\) равен \(45^\circ\).
В первом приближении, в теории касательных и хорд, существует важная геометрическая зависимость:
\[ \text{Угол между касательной и хордой в точке касания} = \frac{1}{2} \text{угла, образуемого радиусом и хордой} \]
Но здесь, поскольку касательная в точке \(A\), то угол \(\angle T A B\) (где \(T\) — касательная) равен \(45^\circ\).
Шаг 3. Используем свойства радиусов и касательных
- Радиус \(OA\) перпендикулярен касательной \(s\).
- Угол между касательной в точке \(A\) и хордой \(AB\) равен \(45^\circ\).
Это означает, что:
- Треугольник, образованный радиусом \(OA\), хордуой \(AB\), и касательной, даст нам информацию о расположении \(AB\) внутри окружности.
Шаг 4. Построение и вывод
Рассмотрим следующий важный факт:
- Пусть точка \(V\) — точка на окружности, а \(A\) — точка касания.
- Угол между касательной и хордой, проведённой к окружности из точки \(A\), равен \(45^\circ\).
Из этого следует, что угол между радиусом \(OA\) и хордой \(AB\) в точке \(A\) равен \(90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\), потому что радиус перпендикулярен касательной, а угол между касательной и хордой — \(45^\circ\).
Шаг 5. Вспоминая свойства хорд и радиусов
- Пусть \(AB\) — хорда, а \(V\) — точка на окружности, через которую она проведена.
- Радиус \(OV\) равен \(r\).
- Точка \(A\) — точка касания, поэтому \(\angle O A B = 45^\circ\), так как радиус в точке касания перпендикулярен касательной.
Шаг 6. Используем тригонометрию
Рассмотрим панель, где:
- \(\angle O A B = 45^\circ\),
- \(OA = r\),
- \(OV = r\).
Итак, в треугольнике \(OAB\):
- \(OA = r\),
- \(\angle OAB = 45^\circ\),
- Хорда \(AB\) — это искомая длина.
Шаг 7. Вывод формулы для длины хорды
Длина хорды \(AB\) в окружности радиуса \(r\), образующая с радиусом угол \(\theta\), вычисляется по формуле:
\[ AB = 2r \sin \frac{\theta}{2} \]
Где \(\theta = 45^\circ\).
Подставим:
\[ AB = 2r \sin \frac{45^\circ}{2} = 2r \sin 22.5^\circ \]
Значение \(\sin 22.5^\circ\):
\[ \sin 22.5^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \]
Ответ:
\[ \boxed{ AB = 2r \times \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = r \sqrt{2 - \sqrt{2}} } \]
Итог:
Длина хорды \(AB\) равна \(r \sqrt{2 - \sqrt{2}}\).
