Степан загадал трехзначное натуральное число, а Виолетта пытается его угадать. Степан дал следующий подсказки: 1. В числе нет цифры ноль; 2. Число делится нацело на 5 и в нём есть цифра 7; 3. Число делиться нацело на 3; 4. Число меньше 500. Какое число загадал Степан, если все его подсказки верные?

Рассмотрим каждое из условий и поэтапно найдем искомое число. **Дано:** 1. В числе нет цифры 0. 2. Число делится на 5 и содержит цифру 7. 3. Число делится на 3. 4. Число меньше 500. --- ### Шаг 1. Анализ условия делимости на 5 Для того чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть 0 или 5. Но условие 1 говорит, что в числе нет цифры 0, следовательно, последняя цифра **должна быть 5**. **Вывод:** последние цифры числа — 5. --- ### Шаг 2. Анализ наличия цифры 7 Число содержит цифру 7. Итак, число — трехзначное, его цифры — **от 1 до 9**, при этом включает 7 и заканчивается на 5. ### Шаг 3. Формат числа Обозначим число как \( \overline{XYZ} \): - \( Z = 5 \) - \( X, Y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \), причем цифра 7 должна присутствовать в числе. - В числе есть цифра 7, она может быть в позиции X или Y (или обе). --- ### Шаг 4. Условие делимости на 3 Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3: \[ X + Y + 5 \equiv 0 \pmod{3} \] или: \[ X + Y \equiv -5 \equiv 1 \pmod{3} \] Поскольку \( -5 \equiv 1 \pmod{3} \). **Вывод:** сумма первых двух цифр должна при делении на 3 давать остаток 1: \[ X + Y \equiv 1 \pmod{3} \] --- ### Шаг 5. Условие о числе меньше 500 Первое число — сотни: - \( X \in \{1, 2, 3, 4\} \), так как если \( X \geq 5 \), число будет ≥ 500. - В остальных случаях число < 500. --- ### Шаг 6. Перебор возможных вариантов Обратимся к возможным вариантам. Так как число содержит цифру 7 и заканчивается на 5, просмотрим случаи по позициям 7. **Общий план:** - Проверяем, содержит ли число цифру 7 в первой или второй позиции. - Проверяем, что сумма цифр делится на 3, и что в числе есть 7. --- ### Перебор: #### Вариант 1: 7 в первой позиции \( X \) - \( X = 7 \), так как цифра 7 есть, и она в первой позиции. - \( Y \in \{1,\dots,9\}\), \( Y \neq 0 \). Условие о делимости на 3: \[ 7 + Y + 5 = Y + 12 \] Делится на 3, если \( Y + 12 \equiv 0 \pmod{3} \). Так как \( 12 \equiv 0 \pmod{3} \), то: \[ Y \equiv 0 \pmod{3} \] То есть \( Y \in \{3, 6, 9\} \). Проверка чисел: - \( Y = 3 \Rightarrow \) число 735, сумма цифр \( 7+3+5=15 \), делится на 3. В числе есть 7 и последнийdigit 5. Всё подходит. - \( Y = 6 \Rightarrow \) число 765, сумма \( 7+6+5=18 \), делится на 3. Есть 7, последний 5. - \( Y = 9 \Rightarrow \) число 795, сумма \( 7+9+5=21 \), делится на 3. Есть 7, последний 5. Все три варианта соответствуют условиям. --- #### Вариант 2: 7 во второй позиции \( Y \) - \( Y=7 \). - \( X \in \{1, 2, 3, 4\} \). Сумма цифр: \[ X + 7 + 5 = X + 12 \] Делится на 3, если \( X + 12 \equiv 0 \pmod{3} \). Так как \( 12 \equiv 0 \pmod{3} \), то: \[ X \equiv 0 \pmod{3} \] Множество возможных \( X \): \[ X = 3 \text{ или } 3 \] Поскольку \( X \in \{1, 2, 3, 4\} \): \[ X = 3 \] Тогда число: \[ \overline{3\,7\,5} = 375 \] Проверка: - Есть 7: да. - Делимость на 3: \[ 3+7+5=15 \] Делится на 3. - Меньше 500: да. - Не содержит 0: да. --- ### Итог Итак, возможные числа: - 735 - 765 - 795 - 375 Все они соответствуют условиям, но для окончательного ответа нужно выбрать число, которое точно загадал Степан. В условии говорится, что "Степан загадал число, все подсказки верные", и, поскольку все эти числа выполняют все условия, **значит число может быть любым из них.** --- ### **Ответ:** **Число, которое загадал Степан, — это одно из:** \[ \boxed{375, 735, 765, \text{или } 795} \] Если нужно выбрать **одно конкретное число**, то наиболее подходящим является **375**, так как оно наиболее "детальное" и явное выполнение всех условий (цифра 7 есть, делится на 3, заканчивается на 5, меньше 500). --- Если требуется выбрать **единственное число**, то, исходя из логики, наиболее часто приводимый пример — **375**.