Решите уравнение x^3 - 8x^2 = x - 8

Конечно! Давайте подробно решим уравнение \( x^3 - 8x^2 = x - 8 \) с объяснениями на каждом этапе. --- ### Шаг 1: Перенесем все в одну сторону уравнения Чтобы понять, что мы решаем, упростим уравнение, перенесем все члены в левую сторону: \[ x^3 - 8x^2 - x + 8 = 0 \] --- ### Шаг 2: Поиск рациональных корней (теорема Виета или деление поомощью перебора делителей свободного члена) **Свободный член** — \(8\). **Коэффициенты**: \(1, -8, -1, 8\). По теории рациональных корней, возможные рациональные корни — делители свободного члена \(8\): \[ \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \] Проверим каждое из них в уравнении, подставляя поочередно. --- ### Шаг 3: Проверка подстановкой возможных корней - Для \(x=1\): \[ (1)^3 - 8(1)^2 - 1 + 8 = 1 - 8 - 1 + 8 = 0 \] Значит, \(x=1\) — корень уравнения. - Для \(x=2\): \[ 8 - 8 \times 4 - 2 + 8 = 8 - 32 - 2 + 8 = -18 \neq 0 \] - Для \(x=-1\): \[ -1 - 8 \times 1 + 1 + 8 = -1 - 8 + 1 + 8 = 0 \] Значит, \(x = -1\) — тоже корень. Проверим ещё \(x=-2\): \[ -8 - 8 \times 4 + 2 + 8 = -8 - 32 + 2 + 8 = -30 \neq 0 \] Оставшиеся:\(x=4, -4, 8, -8\) — проверим быстренько. - Для \(x=4\): \[ 64 - 8 \times 16 - 4 + 8 = 64 - 128 - 4 + 8 = -60 \neq 0 \] - Для \(x=-4\): \[ -64 - 8 \times 16 + 4 + 8 = -64 - 128 + 4 + 8 = -180 \neq 0 \] - Для \(x=8\): \[ 512 - 8 \times 64 - 8 + 8 = 512 - 512 - 8 + 8= 0 \] Значит, \(x=8\) — корень. - Для \(x=-8\): \[ -512 - 8 \times 64 + 8 + 8 = -512 - 512 + 8 + 8 = -1008 \neq 0 \] Итак, мы нашли **корни:** \[ x = 1,\quad x = -1,\quad x=8 \] --- ### Шаг 4: Разложение многочлена на множители Поскольку у нас есть три корня, уравнение можно представить как произведение трех линейных множителей: \[ (x - 1)(x + 1)(x - 8) = 0 \] Проверим, что произведение действительно равно исходному многочлену: - Раскроем первые два множителя: \[ (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 \] - Теперь умножим это на \((x - 8)\): \[ (x^2 - 1)(x - 8) = x^3 - 8x^2 - x + 8 \] Это совпадает с исходным многочленом. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ x = 1,\quad x = -1,\quad x=8 } \] Это все решения уравнения \( x^3 - 8x^2 = x - 8 \). Если есть вопросы по каким-либо шагам, я с радостью объясню подробнее!