Решите уравнение x^3 - 8x^2 = x - 8
Конечно! Давайте подробно решим уравнение \( x^3 - 8x^2 = x - 8 \) с объяснениями на каждом этапе.
Шаг 1: Перенесем все в одну сторону уравнения
Чтобы понять, что мы решаем, упростим уравнение, перенесем все члены в левую сторону:
\[ x^3 - 8x^2 - x + 8 = 0 \]
Шаг 2: Поиск рациональных корней (теорема Виета или деление поомощью перебора делителей свободного члена)
Свободный член — \(8\).
Коэффициенты: \(1, -8, -1, 8\).
По теории рациональных корней, возможные рациональные корни — делители свободного члена \(8\):
\[ \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \]
Проверим каждое из них в уравнении, подставляя поочередно.
Шаг 3: Проверка подстановкой возможных корней
- Для \(x=1\):
\[ (1)^3 - 8(1)^2 - 1 + 8 = 1 - 8 - 1 + 8 = 0 \]
Значит, \(x=1\) — корень уравнения.
- Для \(x=2\):
\[ 8 - 8 \times 4 - 2 + 8 = 8 - 32 - 2 + 8 = -18 \neq 0 \]
- Для \(x=-1\):
\[ -1 - 8 \times 1 + 1 + 8 = -1 - 8 + 1 + 8 = 0 \]
Значит, \(x = -1\) — тоже корень.
Проверим ещё \(x=-2\):
\[ -8 - 8 \times 4 + 2 + 8 = -8 - 32 + 2 + 8 = -30 \neq 0 \]
Оставшиеся:\(x=4, -4, 8, -8\) — проверим быстренько.
- Для \(x=4\):
\[ 64 - 8 \times 16 - 4 + 8 = 64 - 128 - 4 + 8 = -60 \neq 0 \]
- Для \(x=-4\):
\[ -64 - 8 \times 16 + 4 + 8 = -64 - 128 + 4 + 8 = -180 \neq 0 \]
- Для \(x=8\):
\[ 512 - 8 \times 64 - 8 + 8 = 512 - 512 - 8 + 8= 0 \]
Значит, \(x=8\) — корень.
- Для \(x=-8\):
\[ -512 - 8 \times 64 + 8 + 8 = -512 - 512 + 8 + 8 = -1008 \neq 0 \]
Итак, мы нашли корни:
\[ x = 1,\quad x = -1,\quad x=8 \]
Шаг 4: Разложение многочлена на множители
Поскольку у нас есть три корня, уравнение можно представить как произведение трех линейных множителей:
\[ (x - 1)(x + 1)(x - 8) = 0 \]
Проверим, что произведение действительно равно исходному многочлену:
- Раскроем первые два множителя:
\[ (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 \]
- Теперь умножим это на \((x - 8)\):
\[ (x^2 - 1)(x - 8) = x^3 - 8x^2 - x + 8 \]
Это совпадает с исходным многочленом.
Ответ:
\[ \boxed{ x = 1,\quad x = -1,\quad x=8 } \]
Это все решения уравнения \( x^3 - 8x^2 = x - 8 \).
Если есть вопросы по каким-либо шагам, я с радостью объясню подробнее!
