В усечëном конусе радиусы оснований 11 и 7 см, высота—3. Найти оъëм и площадь полной поверхности усечëного конуса.
Давайте решим задачу по шагам, чтобы найти объем и площадь полной поверхности усеченного конуса с данными размерными характеристиками.
Дано:
- Радиус большого основания \( R_1 = 11 \) см
- Радиус малого основания \( R_2 = 7 \) см
- Высота усеченного конуса \( h = 3 \) см
1. Обозначения и схема
У нас есть усечённый конус — фигура, образованная срезкой конуса параллельно основанию. Он имеет два основания: большего радиуса \( R_1 \) и меньшего \( R_2 \), высоту \( h \).
Чтобы найти объем и площадь поверхности, нам потребуется длина образующей (боковой стороны) усеченного конуса, которая обозначается как \( l \).
2. Находим образующую \( l \)
Образующая — это расстояние по наклону от точки на большем основании до соответствующей точки на меньшем основании.
Модель:
- Представим, что конус "разрезали" по высоте. Линия, соединяющая центры оснований, — это ось.
- Чтобы найти \( l \), можно воспользоваться прямоугольным треугольником:
\[ l = \sqrt{(R_1 - R_2)^2 + h^2} \]
Подставим значения:
\[ l = \sqrt{(11 - 7)^2 + 3^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]
3. Объем усеченного конуса
Формула объема для усеченного конуса:
\[ V = \frac{\pi h}{3} (R_1^2 + R_2^2 + R_1 R_2) \]
Подставим значения:
\[ V = \frac{\pi \times 3}{3} (11^2 + 7^2 + 11 \times 7) = \pi \times (121 + 49 + 77) \]
Посчитаем скобки:
\[ 121 + 49 = 170,\quad 170 + 77 = 247 \]
Итак:
\[ V = \pi \times 247 \approx 3.1416 \times 247 \approx 776.0 \text{ см}^3 \]
Ответ по объему: около 776 см³
4. Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности складывается из площади двух оснований и боковой поверхности.
4.1. Площадь оснований:
\[ S_{оснований} = \pi R_1^2 + \pi R_2^2 = \pi (11^2 + 7^2) = \pi (121 + 49) = \pi \times 170 \approx 534.1 \text{ см}^2 \]
4.2. Боковая поверхность:
Формула боковой поверхности усеченного конуса:
\[ S_{бок} = \pi (R_1 + R_2) l \]
Подставим значения:
\[ S_{бок} = \pi (11 + 7) \times 5 = \pi \times 18 \times 5 = 90 \pi \approx 90 \times 3.1416 \approx 282.7 \text{ см}^2 \]
4.3. Общая площадь полной поверхности:
\[ S_{полная} = S_{оснований} + S_{бок} \approx 534.1 + 282.7 = 816.8 \text{ см}^2 \]
Итоговые ответы:
- Объем усеченного конуса: около 776 см³
- Площадь полной поверхности: около 817 см²
Если нужно подробнее объяснить какой-то шаг, спрашивайте!
