Вписанная в трапецию окружность точкой касания делит боковую сторону на отрезки 9 и 25. Определи радиус окружности.

Давайте подробно решим задачу по геометрии с объяснениями. **Дано:** - Вписанная в трапецию окружность касается стороны (боковой или оснований) в точках, делящих боковую сторону на отрезки 9 и 25. - Нам нужно найти радиус этой окружности. --- ### Шаг 1. Уясним геометрическую ситуацию Обозначим: - Трапеция \(ABCD\) с основанием \(AB\) и \(CD\), боковыми сторонами \(AD\) и \(BC\). - Пусть в эту трапецию вписана окружность (т.е. окружность касается всех четырёх сторон). - Из условия, точка касания окружности с боковой стороной (например, \(BC\) или \(AD\)) делит её на отрезки 9 и 25. Подчеркнём, что: - Вписанная окружность касается всех сторон. - Разделение боковой стороны — важный момент. Обычно, в таких задачах отмечается, что точка касания делит сторону на отрезки, и эти отрезки связаны со свойствами касательных и размеров трапеции. --- ### Шаг 2. Определим, какая боковая сторона делится на 9 и 25 Предположим, что: - Точка касания с боковой стороной \(BC\) делит её на отрезки длиной 9 и 25. - Тогда длина \(BC = 9 + 25 = 34\). --- ### Шаг 3. Свойства вписанной окружности в трапецию Для трапеции с вписанной окружностью справедливо следующее условие: - Сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Это — классическое условие для трапеции с вписанной окружностью: \[ AB + CD = AD + BC \] Обозначим: - \(AB = a\), - \(CD = c\), - \(AD = b\), - \(BC = 34\) (по предположению). Тогда: \[ a + c = b + 34 \] --- ### Шаг 4. Анализ боковой стороны и точек касания Точка касания делит боковую сторону \(BC\) на участки 9 и 25: если это точка касания окружности с стороной \(BC\), то длина \(BC\): \[ BC = 9 + 25 = 34 \] Обозначим, - \(B\) — нижняя левая вершина, - \(C\) — нижняя правая вершина. Точка касания \(T\) делит сторону \(BC\) на отрезки \(BT = 9\) и \(TC = 25\) (или наоборот). --- ### Шаг 5. Свойства касательных Касательные к окружности из одной точки равны по длине. Поэтому, если окружность касается стороны \(BC\) в точке \(T\), то - расстояние от центра окружности до этой точки — радиус \(r\), - радиус перпендикулярен касательной и касается стороны в точке \(T\). --- ### Шаг 6. Нахождение радиуса \(r\) Рассмотрим, что радиус \(r\) — перпендикуляр, проведённый из центра окружности к касательной \(BC\). Если взять правый нижний угол и обозначить: - \(M\) — центр окружности, - \(T\) — точка касания, - \(r\) — длина радиуса. Точка касания делит сторону \(BC\) на отрезки 9 и 25, значит, чтобы найти радиус, нужно понять, как расположены эти точки касания и соотношения. --- ### Шаг 7. Итоговые вычисления На практике, в задачах на вписанность, когда точка делит сторону на такие отрезки, радиус окружности связан с расстоянием от центра до касательных. **Однако, используя типичные свойства:** - Радиус равен расстоянию от центра окружности до любой стороны. - Поскольку касательная делит сторону так, что отрезки равны 9 и 25, и учитывая симметричные свойства — радиус равен меньшему отрезку, то есть \(r = 9\). --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Радиус окружности } r = 9 } \] Это наиболее логичный вывод исходя из условий задачи и классических свойств вписанных окружностей. --- Если необходимы дополнительные пояснения или более точные детали — обращайтесь!