Давайте подробно разберем задачу: найти наименьшее значение многочлена ( 3x^2 - 12x + 9 ).
Шаг 1: Определим вид многочлена
Это квадратичный многочлен вида:
[ y = 3x^2 - 12x + 9 ]
Коэффициент при ( x^2 ) равен 3, он положительный, значит график — это у парабола, направленная вверх. В таком случае, многочлен достигает своего минимального значения в вершине.
Шаг 2: Найдём вершину параболы
Для квадратичного многочлена ( y = ax^2 + bx + c ) вершина находится по формуле:
[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} ]
Здесь:
- ( a = 3 )
- ( b = -12 )
- ( c = 9 )
Подставляем:
[ x_{верш} = -\frac{-12}{2 \times 3} = \frac{12}{6} = 2 ]
Шаг 3: Найдём минимальное значение
Теперь подставим ( x = 2 ) обратно в исходный многочлен:
[
y(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9
]
Рассчитаем по шагам:
[
3 \times 4 = 12
]
[
-12 \times 2 = -24
]
Итак,
[
y(2) = 12 - 24 + 9 = (12 + 9) - 24 = 21 - 24 = -3
]
Ответ:
Наименьшее значение многочлена ( 3x^2 - 12x + 9 ) равно (-3), оно достигается при ( x = 2 ).
