В равнобедренную трапецию вписана окружность. больший угол трапеции равен 150 , а еë высота равна 10 см. найдите сумму оснований трапеции. ответ дайте в сантиметрах

Давайте разберёмся с условием задачи пошагово. **Дано:** - Трапеция равнобедренная. - Внутри трапеции вписана окружность (значит, трапеция — равносторонняя или имеет свойства равных сумм оснований). - Больший угол трапеции равен 150°. - Высота трапеции \(h = 10\) см. - Нужно найти сумму оснований \(a + b\). --- ### Шаг 1: Что означает, что в трапецию вписана окружность? Для трапеции, в которую вписана окружность, выполнено равенство: \[ \text{Сумма оснований} = \text{Сумма боковых сторон} \] Но так как трапеция равнобедренная, то боковые стороны равны и горизонтальные. --- ### Шаг 2: Нарисуем и обозначим фигуру. Обозначим: - Верхнее основание: \(a\) - Нижнее основание: \(b\) - Боковые стороны: \(l\) (одинаковые) - Высота: \(h = 10\) см - Больший угол (внутренний угол при нижнем основании): \(150^\circ\) --- ### Шаг 3: Анализ углов и боковых сторон. Поскольку трапеция равнобедренная, то углы при основании расположены симметрично. Пусть: - Внутренний угол при нижнем основании: \(150^\circ\), - Тогда угол при верхнем основании (соответственно, при противоположной стороне): \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). Это обусловлено тем, что внутренние углы при одном основании дополняются до 180°, так как трапеция — многоугольник. --- ### Шаг 4: Связь боковых сторон с высотой. Рассмотрим одну из боковых сторон \(l\) и высоту \(h = 10\) см. Обозначим: - Вертикальную часть: \(h = 10\) см, - Горизонтальную составляющую боковой стороны: \(x\). Треугольник, образованный боковой стороной, высотой и горизонтальными отрезками, задаёт угол \(30^\circ\): \[ \tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{прилежащая сторона}} = \frac{h}{x} \] Где \(x\) — горизонтальная проекция боковой стороны (от нижнего основания до пересечения с линией, параллельной основаниям). Значение \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Следовательно, \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{x} \implies x = 10 \sqrt{3} \] --- ### Шаг 5: Определение длин оснований. Поскольку боковая сторона \(l\) — наклонная, она состоит из вертикальной части \(h=10\) и горизонтальной \(x = 10 \sqrt{3}\). Используя тригонометрию, найдём \(l\): \[ l = \frac{h}{\sin(30^\circ)} = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 20 \quad \text{см} \] Потому что \(\sin(30^\circ) = 0.5\). --- ### Шаг 6: Найти длины оснований. Спроецируем горизонтальную часть: - Верхнее основание: \(a\) - Нижнее основание: \(b\) Горизонтальная разность между основаниями равна сумме двух горизонтальных проекций боковых сторон: \[ b - a = 2x = 2 \times 10 \sqrt{3} = 20 \sqrt{3} \] --- ### Шаг 7: Использование свойства вписанной окружности. Для равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Обозначим: \[ a + b = 2l \] Но из пункта 5 мы нашли \(l=20\) см. Следовательно, \[ a + b = 2 \times 20 = 40 \text{ см} \] --- ### **Ответ:** **Сумма оснований трапеции составляет 40 см.** --- Если нужны дополнительные объяснения или есть вопросы — скажите!