|7x - 2| + |5x + 2| = 6

Рассмотрим уравнение с модулем: |7x - 2| + |5x + 2| = 6 Задача — найти все значения x, при которых это равенство выполняется. Чтобы решить его, нужно рассматривать разные случаи в зависимости от знаков выражений внутри модулей. --- ### Шаг 1. Определяем точки нулей выражений под модулем 1. 7x - 2 = 0 → x = 2/7 2. 5x + 2 = 0 → x = -2/5 Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: - I: x < -2/5 - II: -2/5 ≤ x ≤ 2/7 - III: x > 2/7 Рассмотрим каждый случай отдельно. --- ### Шаг 2. Решение на каждом промежутке --- ### **Промежуток 1: x < -2/5** Здесь: - 7x - 2 < 0 (так как 7x - 2 при x < 2/7, и в частности x < -2/5, значит 7x - 2 отрицательное) - 5x + 2 < 0 (так как x < -2/5, то 5x + 2 тоже отрицательное) Значит: |7x - 2| = -(7x - 2) = -7x + 2 |5x + 2| = -(5x + 2) = -5x - 2 Подставляем в уравнение: (-7x + 2) + (-5x - 2) = 6 Складываем: -7x + 2 - 5x - 2 = 6 -12x = 6 x = -6/12 = -1/2 Проверим, входит ли x = -1/2 в данный промежуток: x < -2/5? Да, так как -1/2 = -0.5, а -0.5 < -0.4, то есть это входит. **Ответ из этого промежутка:** x = -1/2 --- ### **Промежуток 2: -2/5 ≤ x ≤ 2/7** На этом промежутке: - 7x - 2 ≥ 0 (так как x ≥ -2/5, то 7x - 2 ≥ 0) - 5x + 2 ≥ 0 (так как x ≥ -2/5) Следовательно: |7x - 2| = 7x - 2 |5x + 2| = 5x + 2 Подставляем: (7x - 2) + (5x + 2) = 6 7x - 2 + 5x + 2 = 6 (7x + 5x) + (-2 + 2) = 6 12x = 6 x = 6/12 = 1/2 Проверим, входит ли x=1/2 в текущий промежуток: x ≥ -2/5 и x ≤ 2/7? -2/5 ≈ -0.4, 2/7 ≈ 0.2857 x=0.5 — больше 2/7, не входит в промежуток. Значит, это решение **не подходит**. --- ### **Промежуток 3: x > 2/7** Здесь: - 7x - 2 > 0 (так как x > 2/7) - 5x + 2 > 0 (так как x > -2/5) Поэтому: |7x - 2| = 7x - 2 |5x + 2| = 5x + 2 Распишем: (7x - 2) + (5x + 2) = 6 7x - 2 + 5x + 2 = 6 12x = 6 x = 6/12 = 1/2 Проверим условие: x > 2/7? Да, так как 1/2 = 0.5 > 0.2857. **Итак, x = 1/2** — решение этой области. --- ### Итог: - Из первого промежутка: x = -1/2 - Из третьего: x = 1/2 Поскольку проверка уже выполнена, эти решения подходят. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ x = -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{2} } \] Это все решения уравнения.