Правильную игральную кость бросают дважды известно что сумма выпавших очков меньше чем 10 найдите вероятность того что в первый раз выпало меньше четырёх очков или сумма выпавших очков равна семи
Ответ нейросети
11 мая 2025 15:10
Давайте подробно разберём эту задачу.
Дано:
- Бросают игральную кость дважды (то есть два независимых испытания).
- Известна сумма очков, выпавших за два броска, и она меньше 10 (то есть сумма (\leq 9)).
- Нужно найти вероятность того, что:
- В первый раз выпало меньше четырёх очков (то есть 1, 2 или 3),
- Или сумма выпавших очков равна 7.
Шаг 1: Обозначим события
Обозначим:
- (A) — событие, что в первый бросок выпало меньше 4 (то есть 1, 2 или 3).
- (B) — событие, что сумма очков за два броска равна 7.
Нам нужно найти условную вероятность:
[
P(A \cup B \mid \text{сумма} \leq 9)
]
Обозначим:
- (C) — событие, что сумма двух бросков меньше или равна 9 (то есть (\leq 9)).
Нас интересует:
[
P(A \cup B \mid C) = \frac{P((A \cup B) \cap C)}{P(C)}
]
Шаг 2: Находим (P(C)) — вероятность, что сумма (\leq 9)
Общее количество вариантов броска: (6 \times 6 = 36), так как каждый бросок — это число от 1 до 6.
Подсчитаем количество пар ((i,j)), где (i,j \in {1,2,3,4,5,6}) и сумма (i + j \leq 9).
Рассмотрим случаи:
- (i=1), (j \leq 8), возможные (j = 1..6) (все), так как (1+6=7 \leq 9).
- Аналогично, для (i=2), (j \leq 7), все возможные (j=1..6).
- Продолжаем до (i=6):
- (i=6), (j \leq 3), так как (6+4=10 >9), значит возможные (j=1,2,3).
Подсчитаем количество:
| i | допустимые j | количество пар |
|---|---|---|
| 1 | 1..6 | 6 |
| 2 | 1..6 | 6 |
| 3 | 1..6 | 6 |
| 4 | 1..6 | 6 |
| 5 | 1..6 | 6 |
| 6 | 1..3 | 3 |
Итого:
[
6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 3 = 33
]
Следовательно:
[
P(C) = \frac{33}{36} = \frac{11}{12}
]
Шаг 3: Находим (P((A \cup B) \cap C))
Это — вероятность того, что выполняются либо событие (A) (первый бросок < 4), либо событие (B) (сумма равна 7), и при этом сумма (\leq 9).
Разобьём на части:
[
P((A \cup B) \cap C) = P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C)
]
Шаг 4: Найдём (A \cap C) — случаи, когда в первый раз выпало 1, 2 или 3, и сумма (\leq 9)
- Первый бросок: 1, 2, 3.
- Второй бросок: любой от 1 до 6.
Количество вариантов:
- Для первого броска 1:
- Второй: 1..6, все суммы (1 + j \leq 9) для (j=1..6), так как максимум (1+6=7 \leq 9).
- Аналогично для первого броска 2 и 3.
Поскольку все такие пары возможны, то для каждого из трёх вариантов первого броска — все 6 вариантов второго.
Итого:
[
3 \times 6 = 18
]
Вероятность:
[
P(A \cap C) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}
]
Шаг 5: Найдём (B \cap C) — случаи, когда сумма равна 7 и сумма (\leq 9)
Тут всё проще: если сумма 7, то это и есть (\leq 9), так что (B \cap C = B).
Нам нужны все пары, где сумма равна 7:
[ (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) ]
Всего 6 случаев.
Вероятность:
[
P(B \cap C) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
]
Шаг 6: Найдём (A \cap B \cap C)
Это — случаи, когда:
- В первый раз выпало 1, 2 или 3.
- Сумма равна 7.
- Следовательно, второй бросок: так, чтобы сумма была 7:
Для каждого варианта первого броска:
- Первый бросок = 1:
- Второй бросок = 6, сумма=7.
- Первый бросок = 2:
- Второй бросок = 5, сумма=7.
- Первый бросок = 3:
- Второй бросок = 4, сумма=7.
Всего 3 такие пары:
[ (1,6), (2,5), (3,4) ]
Всего 3 варианта.
Вероятность:
[
P(A \cap B \cap C) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}
]
Шаг 7: Итоговое вычисление
Подставим все значения:
[ P((A \cup B) \cap C) = P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} ]
Приведём к общему знаменателю 12:
[ \frac{6}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{6 + 2 - 1}{12} = \frac{7}{12} ]
Итог:
[ P(A \cup B \mid C) = \frac{P((A \cup B) \cap C)}{P(C)} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{11}{12}} = \frac{7}{12} \times \frac{12}{11} = \frac{7}{11} ]
Ответ:
Вероятность того, что в первый бросок выпало меньше 4 очков или сумма очков равна 7, при условии, что сумма двух бросков меньше или равна 9, равна (\boxed{\frac{7}{11}}).
Понравился ответ?
Задай свой вопрос
Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит
