Большое основание равнобедренной трапеции равно 48 боковая сторона равна 21 синус острого угла равен корень из трёх разделить на 3
Дано:
- Большое основание трапеции \( AB = 48 \)
- Боковая сторона \( BC = 21 \)
- \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}\), где \(\alpha\) — острый угол при боковой стороне \( BC \).
Задача: найти меньшее основание \( AD \).
Пусть трапеция \(ABCD\) такая, что \(AB \parallel CD\), и \(AB = 48\). Обозначим:
- \( AD = x \),
- \( BC = 21 \),
- \(\angle ABC = \alpha\), между боковой стороной \( BC \) и основанием \( AB \).
Шаг 1: Определение угла и высоты трапеции
Из условия: \[ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Следовательно, \(\alpha = 30^\circ\).
Шаг 2: Нахождение высоты трапеции \(h\)
Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной и наклонным основанием:
В частности, если опустить высоту из вершины \( B \) на основание \( AD \), то она образует прямой угол, а протяжённость проекции боковой стороны на основание связана с углом \(\alpha\).
Высота \(h\) равна: \[ h = BC \cdot \sin \alpha = 21 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 7 \sqrt{3} \]
Шаг 3: Расчёт проекций боковых сторон
Рассмотрим треугольник с боковой стороной \( BC = 21 \), углом \(\alpha = 30^\circ\). Проекция этого вектора на ось, параллельную основанию, равна:
\[ \text{Проекция} = BC \times \cos \alpha = 21 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 21 \times 0.8660 \approx 18.186 \]
На самом деле, для основной операции удобно оставить точное выражение: \[ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Шаг 4: Положение вершин и вычисление меньшего основания \(CD\)
Рассмотрим горизонтальные составляющие боковых сторон. В правом треугольнике, образованном боковой стороной \( BC \) и высотой \(h\):
- Проекция всей боковой стороны: \( 21 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{21 \sqrt{3}}{2} \).
Интуитивно, чтобы найти \(CD\), нужно учесть, что по горизонтали боковые стороны сходятся, и разность между большими и меньшими основаниями связана с суммой их горизонтальных проекций.
Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны симметричны. Тогда:
\[ \text{Разность оснований} = 2 \times \text{горизонтальная проекция каждой боковой стороны} \]
Из расчетов видно, что длина основания \( AB = 48 \). Горизонтальная проекция боковой стороны — это её горизонтальный компонент:
\[ b_x = BC \times \cos \alpha = 21 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{21 \sqrt{3}}{2} \]
Итак, разность оснований:
\[ 48 - x = 2b_x = 2 \times \frac{21 \sqrt{3}}{2} = 21 \sqrt{3} \]
Следовательно:
\[ x = 48 - 21 \sqrt{3} \]
Ответ:
Меньшее основание \( CD \):
\[ \boxed{ x = 48 - 21 \sqrt{3} } \]
или в десятичной форме (приблизительно):
\[ x \approx 48 - 21 \times 1.732 = 48 - 36.372 \approx 11.628 \]
Итак, меньшее основание равно \(\boxed{48 - 21 \sqrt{3}}\).
