В равнобедренном треугольнике АБС точки М и Н середины боковых сторон найдите радиус окружности описанной около треугольника МБН если периметр треугольника ABC равен 32 а длина…

Давайте обозначим اطо́ры́ треугольника \( ABC \):

• Пусть \( AB = AC = a \),
• \( BC = b \),
• Тогда периметр равен: \( 2a + b = 32 \).

Обозначения точек:

• \( M \) — середина боковой стороны \( AB \),
• \( N \) — середина боковой стороны \( AC \).

В условии дано, что \( MN = 6 \).

---

Шаг 1: Расположение точек и свойства

Так как \( M \) и \( N \) — середины сторон \( AB \) и \( AC \), то:

• \( M \) — midpoint \( AB \),
• \( N \) — midpoint \( AC \).

Вооружимся свойствами средней линии треугольника: \( MN \) — средняя линия, она параллельна основанию \( BC \), и её длина равна половине \( BC \):

\[ MN = \frac{b}{2}. \]

Из условия:

\[ MN = 6 \implies \frac{b}{2} = 6 \implies b = 12. \]

---

Шаг 2: Нахождение \( a \)

Периметр:

\[ 2a + b = 32, \]

подставим \( b = 12 \):

\[ 2a + 12 = 32 \implies 2a = 20 \implies a = 10. \]

Итак:

\[ AB = AC = 10, \quad BC = 12. \]

---

Шаг 3: Координатное решение

Поместим \( \triangle ABC \) в координатную плоскость:

• Пусть \( B = (0,0) \),
• \( C = (12, 0) \),

Рассмотрим вершину \( A = (x, y) \), тогда:

• \( AB = 10 \) даёт уравнение:

\[ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 10^2 \implies x^2 + y^2 = 100, \]

• \( AC = 10 \):

\[ (x - 12)^2 + y^2 = 100. \]

Вычитая первое уравнение из второго:

\[ (x - 12)^2 + y^2 - (x^2 + y^2) = 0, \] \[ x^2 - 24x + 144 + y^2 - x^2 - y^2 = 0, \] \[ -24x + 144 = 0, \] \[ 24x = 144 \implies x = 6. \]

Подставим в первое уравнение:

\[ 6^2 + y^2 = 100 \implies 36 + y^2 = 100 \implies y^2 = 64 \implies y = \pm 8. \]

Выберем \( y = 8 \) (можно выбрать и минус, поскольку треугольник симметричен относительно оси).

---

Шаг 4: Координаты средних точек \( M \) и \( N \)

• \( M \) — середина \( AB \):

\[ A = (6,8), \quad B = (0,0), \] \[ M = \left( \frac{6+0}{2}, \frac{8+0}{2} \right) = (3, 4). \]

• \( N \) — середина \( AC \):

\[ A = (6,8), \quad C = (12,0), \] \[ N = \left( \frac{6+12}{2}, \frac{8+0}{2} \right) = (9, 4). \]

---

Шаг 5: Радиус окружности, описанной около треугольника \( MBN \)

Нам нужно найти радиус окружности, описанной около треугольника \( MBN \).

• Координаты:

\[ M = (3, 4), \quad N = (9,4), \quad B = (0,0). \]

• Вершины треугольника:

\[ M(3,4), \quad N(9,4), \quad B(0,0). \]

---

Шаг 6: Расчёт радиуса окружности, описанной около \( MBN \)

Радиус окружности, описанной около треугольника, есть радиус окружности, центром которой является центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров.

Средняя линия \( MN \):

• \( M N \) — параллельна \( BC \) и имеет длину 6.

Пусть вычислим радиус окружности по формуле через стороны или по координатам.

По координатам:

• \( MB \): \[ \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, \]
• \( NB \): \[ \sqrt{(9-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97}. \]
• \( MN \): \[ \sqrt{(9-3)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{6^2 + 0} = 6. \]

---

Шаг 7: Нахождение центра описанной окружности и радиуса

Для треугольника \( MBN \), радиус окружности (описанной) тоже равен:

\[ R = \frac{abc}{4S}, \]

где:

• \( a, b, c \) — стороны треугольника,
• \( S \) — площадь треугольника.

Страны:

\[ a = MB = 5, \quad b = NB = \sqrt{97}, \quad c = MN = 6. \]

Площадь \( S \) найдём по формуле через координаты:

\[ S = \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) |, \] подставим \( M(3,4), N(9,4), B(0,0) \):

\[ S = \frac{1}{2} | 3(4 - 0) + 9(0 - 4) + 0(4 - 4) |, \] \[ = \frac{1}{2} | 3 \times 4 + 9 \times (-4) + 0 |, \] \[ = \frac{1}{2} | 12 - 36 + 0 | = \frac{1}{2} | -24 | = 12. \]

Подставим в формулу для радиуса:

\[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \times \sqrt{97} \times 6}{4 \times 12} = \frac{30 \sqrt{97}}{48} = \frac{5 \sqrt{97}}{8}. \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ \frac{5 \sqrt{97}}{8} } \]

Это — радиус окружности, описанной около треугольника \( MBN \).