Сторона треугольника 3 5 7 угол 120 Найдите расстояние от центра вписанной окружности до вершины угла

Давайте решим задачу пошагово и подробно. **Дано:** - Стороны треугольника: \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 7\) - Величина угла при вершине \(C\): \(\angle C = 120^\circ\) **Нам нужно найти**: расстояние от центра вписанной окружности (инцентр) до вершины \(C\). --- ### Шаг 1: Проверка данных и подбор метода Интересно, что у нас есть стороны и угол при вершине \(C\). Обычно для таких задач удобно найти: - площадь треугольника - радиус вписанной окружности \(r\) - координаты инцентра - расстояние от инцентра до вершины \(C\) Но для этого нужно понять, как связаны стороны и угол \(C\). --- ### Шаг 2: Проверка свойства сторон и углов Условие: \(a=3\), \(b=5\), \(c=7\), и угол при вершине \(C\) равен \(120^\circ\). **Проверим**, действительно ли стороны соответствуют этим углам при помощи закона косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \] Подставим: \(a=3\), \(b=5\), \(c=7\): \[ 7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \times 3 \times 5 \cos 120^\circ \] \[ 49 = 9 + 25 - 30 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ 49 = 34 + 15 \] \[ 49 = 49 \] Что верно! Значит, стороны соответствуют углу в \(120^\circ\) при вершине \(C\). --- ### Шаг 3: Находим остальные углы Зная стороны и угол \(C\), можем найти углы \(A\) и \(B\). Используем закон косинусов для углов \(A\) и \(B\). #### Угол \(A\): \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Подставим: \[ \cos A = \frac{5^2 + 7^2 - 3^2}{2 \times 5 \times 7} = \frac{25 + 49 - 9}{70} = \frac{65}{70} = \frac{13}{14} \approx 0.9286 \] \(\Rightarrow A \approx \arccos(0.9286) \approx 21.8^\circ\). #### Угол \(B\): Общий угол треугольника: \[ A + B + C = 180^\circ \] \[ B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 21.8^\circ - 120^\circ = 38.2^\circ \] --- ### Шаг 4: Находим площадь треугольника Используем формулу площади через две стороны и угол между ними: \[ S = \frac{1}{2} bc \sin C \] \[ S = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 120^\circ \] \(\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\) \[ S = \frac{1}{2} \times 35 \times 0.866 \approx 17.5 \times 0.866 \approx 15.15 \] --- ### Шаг 5: Находим радиус вписанной окружности \(r\) Формула: \[ r = \frac{2S}{a + b + c} \] Сумма сторон: \[ a + b + c = 3 + 5 + 7 = 15 \] Тогда: \[ r = \frac{2 \times 15.15}{15} = \frac{30.3}{15} \approx 2.02 \] --- ### Шаг 6: Находим координаты инцентра Пусть вершины \(A, B, C\) имеют координаты: - \(A = (0, 0)\) - \(B = (a, 0) = (3, 0)\) Нужно найти координаты \(C\). Используем, что сторона \(AC = 7\), \(BC=5\). Для удобства возьмём \(C = (x, y)\): \[ AC = 7 \Rightarrow \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = 7 \Rightarrow x^2 + y^2 = 49 \] \[ BC = 5 \Rightarrow \sqrt{(x - 3)^2 + y^2} = 5 \Rightarrow (x - 3)^2 + y^2 = 25 \] Вычитая из второго уравнения первое: \[ (x - 3)^2 + y^2 - (x^2 + y^2) = 25 - 49 \Rightarrow (x^2 - 6x + 9) + y^2 - x^2 - y^2 = -24 \] \[ -6x + 9 = -24 \Rightarrow -6x = -33 \Rightarrow x = \frac{33}{6} = 5.5 \] Подставляем \(x=5.5\) обратно в уравнение: \[ (5.5)^2 + y^2 = 49 \Rightarrow 30.25 + y^2 = 49 \Rightarrow y^2 = 18.75 \] \[ y = \pm \sqrt{18.75} \approx \pm 4.33 \] Выбираем положительный для определённости. Координаты \(C = (5.5, 4.33)\). --- ### Шаг 7: Находим координаты инцентр Инцентр — это точка, взвешенная по сторонам: \[ I = \frac{aA + bB + cC}{a + b + c} \] где \(A = (0, 0)\), \(B = (3, 0)\), \(C = (5.5, 4.33)\) Подставим: \[ I_x = \frac{3 \times 0 + 5 \times 3 + 7 \times 5.5}{15} = \frac{0 + 15 + 38.5}{15} = \frac{53.5}{15} \approx 3.57 \] \[ I_y = \frac{3 \times 0 + 5 \times 0 + 7 \times 4.33}{15} = \frac{0 + 0 + 30.31}{15} \approx 2.02 \] Таким образом, координаты инцентра: \(\boxed{(3.57, 2.02)}\) --- ### Шаг 8: Расстояние от инцентра до вершины \(C\) Вершина \(C = (5.5, 4.33)\) Инцентр \(I = (3.57, 2.02)\) Расстояние: \[ d = \sqrt{(5.5 - 3.57)^2 + (4.33 - 2.02)^2} \] \[ d = \sqrt{(1.93)^2 + (2.31)^2} \approx \sqrt{3.72 + 5.34} = \sqrt{9.06} \approx 3.01 \] --- ## **Ответ:** Расстояние от центра вписанной окружности до вершины \(C\) примерно **3.01 единицы**. Если нужно более точное значение или есть вопросы — скажите!