Окружность радиусом 6,1 см вписана в прямоугольный треугольник найди периметр треугольника если точка касания q делит гипотенузу на отрезки равный 16,7 и 9 см вырази ответ в сантиметрах

Давайте подробно разберем задачу и найдем периметр треугольника. Дано: - Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, \( r = 6{,}1 \) см. - Точка касания \( Q \) делит гипотенузу на отрезки длиной 16,7 см и 9 см. Нужно найти периметр треугольника \( P \). --- ### Шаг 1: Обозначение и общие сведения Обозначим: - Катеты треугольника: \( a \) и \( b \). - Гипотенузу: \( c \). - Периметр: \( P = a + b + c \). Известно, что в прямоугольном треугольнике: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] --- ### Шаг 2: Свойства вписанной окружности в прямоугольный треугольник Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] Отсюда выразим сумму катетов: \[ a + b = c + 2r \] Подставим значение радиуса: \[ a + b = c + 2 \times 6{,}1 = c + 12{,}2 \] --- ### Шаг 3: Использование деления гипотенузы точкой касания Точка \( Q \) делит гипотенузу на два отрезка длиной 16,7 и 9 см. Тогда гипотенуза равна: \[ c = 16{,}7 + 9 = 25{,}7 \text{ см} \] --- ### Шаг 4: Вычисление суммы катетов Теперь по формуле из шага 2: \[ a + b = c + 12{,}2 = 25{,}7 + 12{,}2 = 37{,}9 \text{ см} \] --- ### Шаг 5: Найти катеты \( a \) и \( b \) Отношение деления гипотенузы точкой касания даёт нам важную информацию: - Вписанная окружность касается всех сторон, и делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные сумме “смежных” катетов. Известные свойства касания: \[ \text{Длина от точки касания} \; Q \; \text{до вершины} \; A \; \text{на гипотенузе} = s - a \] \[ \text{Длина от точки касания} \; Q \; \text{до вершины} \; B \; \text{на гипотенузе} = s - b \] где \( s = \frac{a + b + c}{2} \) — полупериметр. Но проще воспользоваться свойствами касания в таких задачах: Точка касания делит гипотенузу пропорционально катетам: \[ \frac{\text{отрезок у точки касания, ближе к } A}{\text{отрезок у точки касания, ближе к } B} = \frac{b}{a} \] Учитывая, что расстояния: 16,7 и 9 — отрезки на гипотенузе к точкам касаний, можем написать: \[ \frac{16,7}{9} = \frac{b}{a} \] \[ b = a \times \frac{16,7}{9} \] Обозначим \( a \) через \( x \): \[ b = x \times \frac{16,7}{9} \] Теперь сложим: \[ a + b = x + x \times \frac{16,7}{9} = x \left(1 + \frac{16,7}{9}\right) \] \[ a + b = x \times \frac{9 + 16,7}{9} = x \times \frac{25,7}{9} \] Но мы знаем из шага 4, что: \[ a + b = 37{,}9 \] Следовательно: \[ x \times \frac{25,7}{9} = 37{,}9 \] \[ x = 37{,}9 \times \frac{9}{25,7} \] Вычислим: \[ x \approx 37,9 \times \frac{9}{25,7} \approx 37,9 \times 0,3506 \approx 13,28 \] Теперь найдём \( b \): \[ b = 13,28 \times \frac{16,7}{9} \approx 13,28 \times 1,856 \approx 24,66 \] И \( a \): \[ a = x \approx 13,28 \] --- ### Шаг 6: Проверка гипотенузы Посчитаем \( c \): \[ c = 25,7 \text{ см} \quad (\по условию) \] Верим, что сумма катетов и гипотенузы совпадают, поэтому выводим: ### Итог: Периметр \[ P = a + b + c = 13,28 + 24,66 + 25,7 \approx 63,64 \text{ см} \] --- ## Итоговый ответ: **Периметр треугольника примерно равен \(\boxed{63,64}\) сантиметров.**