Стрелок стреляет по трём мишеням. Вероятность попадания в мишень первым выстрелом равна 0,4. Если стрелок промахнулся, он может выстрелить по мишени второй раз. Вероятность попадания в мишень вторым выстрелом равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок поразит ровно две мишени из трёх.

Давайте внимательно разберем задачу и найдем искомую вероятность. ### Что дано: - Вероятность попадания первым выстрелом в мишень: \( P_1 = 0,4 \) - Если стрелок промахнулся, он может выстрелить по той же мишени второй раз. - Вероятность попадания вторым выстрелом (при промахе первым): \( P_2 = 0,5 \) Нам нужно найти вероятность того, что стрелок поразит ровно две из трех мишеней. --- ## Шаг 1: Распишем возможные сценарии попадания и промахов На каждую мишень есть три возможных сценария: 1. Попадание с первого выстрела. 2. Промах с первого, но попадание со второго. 3. Промах обоими выстрелами. Нас интересует ситуация, при которой всего две мишени поражены. --- ## Шаг 2: Определим вероятности для одного выстрела по мишене Для каждой мишени: - Вероятность попасть с первого раза: \( P_1 = 0,4 \) - Вероятность не попасть с первого раза: \( 1 - P_1 = 0,6 \) - Вероятность попасть со второго раза (при промахе первым): \( P_2 = 0,5 \) - Вероятность промаха обоими выстрелами (при промахе первым и втором): \( 1 - P_2 = 0,5 \) Итак, для каждой мишени: - Попадание (суммарно): либо с первого, либо со второго, при условии, что промахнулся с первого. --- ## Шаг 3: Варианты поражения ровно двух мишеней Обозначим: - "П" — мишень поражена - "Пу" — промах по мишени Чтобы добиться ровно двух пораженных мишеней из трех, возможны такие комбинации: 1. **П, П, Пу** — поражены первая и вторая, промах по третьей. 2. **П, Пу, П** — поражены первая и третья, промах по второй. 3. **Пу, П, П** — поражены вторая и третья, промах по первой. Рассчитаем вероятность каждого варианта и сложим. --- ## Шаг 4: Расчет вероятности для каждого варианта Для каждого варианта необходимо учитывать: - Вероятность поражения или промаха в каждой мишени с учетом временных выстрелов. ### Вариант 1: поражены 1-я и 2-я, промах 3-й Вероятность: \[ P(\text{первое поражение}) = P_1 = 0,4 \] \[ P(\text{второе поражение}) тоже } = P_1 = 0,4 \] \[ P(\text{промах по третьей}) = (1 - P_1) \times (1 - P_2) = 0,6 \times 0,5 = 0,3 \] Общая вероятность этого варианта: \[ P_1 \times P_2 \times \text{промах по третьей} \] Но тут нужно уточнить, что поражение второй мишени возможно после промаха первым или попадания? В задаче, если первый выстрел промахнулся, то второй — шанс 0,5. Если первый — уже попал, то второй не нужен. Однако, есть два сценария: - Попадание первым выстрелом — с вероятностью \(0,4\) - Промах — с вероятностью \(0,6\), после которого есть шанс попасть со второго — \(0,5\) Для поражения первой мишени: - Поражение первой: промах первый и попадание второй — вероятность: \( 0,6 \times 0,5 = 0,3 \) Это важная часть, поскольку поражение происходит только при определенной последовательности. --- ## Шаг 5: Правильный расчет Рассчитаем вероятность поражения одной мишени: - **Поражение при первом выстреле:** \( 1 - P_1 = 0,6 \) - **Поражение при втором выстреле, если промах первый:** вероятность этого — \[ \text{промах первый} \times \text{попадание второй} = 0,6 \times 0,5 = 0,3 \] Итак, сумма вероятностей поражения мишени (т.е. поражение после 1 или 2 выстрелов): \[ P_{\text{поражение}} = \text{Поражение при первом выстреле} + \text{Поражение при втором} = 0,6 + 0,3 = 0,9 \] Вероятность **не попасть** в мишень (промах обоими выстрелами): \[ P_{\text{промах всеми выстрелами}} = \text{промах первый и промах второй} = 0,6 \times 0,5 = 0,3 \] Обратите внимание, что если первая попытка промахнулась (0,6), а вторая попала (0,5), то мишень считается пораженной — это условие, поэтому вероятности поражения и промаха при каждом сценарии лучше считать отдельно. --- ## Шаг 6: Итоговые вероятности для поражения ровно двух мишеней Главное — одновременное условие, что всего поражено 2 мишени, а третья — промах. Вероятность поражения конкретных двух мишеней и промаха по третьей: - Вероятность поражения первой и второй, промаха по третьей: \[ P_{12} = P_{поражений в 1-й и 2-й} \times P_{\text{промах по 3-й}} \] - Аналогично для других вариантов. Итак, проверяем: ### Вариант 1: поражены 1-я и 2-я, промах по 3-й - Вероятность поражения 1-й мишени: \[ P_{\text{первая}} = P_1 + (1 - P_1) \times P_2 = 0,4 + 0,6 \times 0,5 = 0,4 + 0,3 = 0,7 \] Почему? Потому что мишень поражается либо с первого выстрела (вероятность 0,4), либо промахнувшись, с шансом 0,5 — по второму. - Аналогично для второй мишени, потому что все равно структура та же: \[ P_{\text{вторая}} = 0,7 \] - Для третьей мишени — промах: \[ P_{\text{промах по третьей}} = 1 - 0,7 = 0,3 \] - Вероятность данного сценария: \[ P_{\text{сценарий 1}} = P_{\text{поражение 1}} \times P_{\text{поражение 2}} \times P_{\text{промах по 3}} \] Однако, поскольку поражения по каждой мишени — это условные события, лучше рассматривать их по отдельности и учитывать возможные комбинации. --- ## Итог: После анализа, наиболее правильный способ — использовать существенную формулу: \[ \boxed{ \text{Вероятность} = \binom{3}{2} \times p^2 \times q } \] где: - \( p \) — вероятность попасть в мишень за один из двух выстрелов (учитывая оба варианта), - \( q \) — вероятность промаха по мишени. Но в данной задаче, поскольку вероятности поражения и промаха зависят от последовательности, лучше использовать полный расчет. --- ## Итоговая формула: Попадание ровно двум мишеням из трех — это сумма вероятностей всех комбинаций поражения двух и промаха по одной. Общий подход — вычислите вероятность поражения одной мишени, используя: \[ P_{\text{пораж} }= P_1 + (1 - P_1) \times P_2 = 0,4 + 0,6 \times 0,5 = 0,7 \] Промаха аналогично: \[ P_{\text{промах} }= 1 - 0,7 = 0,3 \] Вероятность поражения ровно двух из трех мишеней: \[ P = \binom{3}{2} \times (0,7)^2 \times 0,3 = 3 \times 0,49 \times 0,3 = 3 \times 0,147 = 0,441 \] --- ## **Ответ:** **Вероятность того, что стрелок поразит ровно две мишени из трёх — примерно 0,441, или 44,1%.** Если нужны дополнительные пояснения — скажите!