sin x=-1/2,x принадлежит(-5π/6;6)
Давайте разберём задачу подробно.
Задача: \(\sin x = -\frac{1}{2}\), где \(x \in \left(-\frac{5\pi}{6}; 6\right)\).
Цель — понять, как найти все значения \(x\), при которых синус равен \(-\frac{1}{2}\), и выбрать из них те, что попадают в заданный интервал.
Шаг 1. Определим основные решения уравнения \(\sin x = -\frac{1}{2}\).
Из тригонометрии знаем:
- \(\sin x = \frac{1}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\).
- \(\sin x = -\frac{1}{2}\) при тех же основных точках, но в противоположных квадрантах (третий и четвёртый), то есть:
\[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}. \]
Это основные решения для \(\sin x = -\frac{1}{2}\), но обычно удобнее запомнить, что синус отрицателен в третьем и четвёртом квадрантах.
Шаг 2. Запишем конкретные решения.
Значения \(x\), при которых \(\sin x = -\frac{1}{2}\), — это:
\[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \]
где \(k \in \mathbb{Z}\).
Шаг 3. Найдём все такие \(x\), которые лежат в интервале \(\left(-\frac{5\pi}{6}; 6\right)\).
Обратим внимание:
- Верхняя граница: \(6\) — это примерно \(6 \approx 1.9106\pi\) (так как \(\pi \approx 3.1416\)), но лучше всего держать границы в радианах.
Значит, интервал: \(\left(-\frac{5\pi}{6}, 6\right)\).
Рассчитаем точнее:
\[ -\frac{5\pi}{6} \approx -\frac{5 \times 3.1416}{6} \approx -2.618. \]
Обозначим границы:
- Нижняя граница: \(-2.618\),
- Верхняя граница: \(6\).
Теперь найдём все решения, попадающие в этот диапазон.
Шаг 4. Проверка значения для каждого варианта:
Первое решение: \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\).
- \(\frac{7\pi}{6} \approx 3.665\).
- Для того, чтобы \(x\) было меньше 6, нужно проверить \(k\):
\[ x = 3.665 + 2k\pi. \]
Исключим значения, которые не входят в интервал.
Для \(k=0\):
\[ x \approx 3.665, \]
это входит в интервал \((-2.618, 6)\).
Для \(k=1\):
\[ x \approx 3.665 + 2 \times 3.1416 \approx 3.665 + 6.2832 = 9.9482, \]
это уже больше 6, не входит.
Для \(k=-1\):
\[ x \approx 3.665 - 6.2832 = -2.6182, \]
что чуть-чут ниже \(-2.618\), то есть не входит в интервал.
Итак, первое решение — это:
\[ x \approx 3.665 \quad (\text{или } \frac{7\pi}{6}), \]
ведь оно точно входит.
Второе решение: \(x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi\).
\(\frac{11\pi}{6} \approx 5.7596\).
Для \(k=0\):
\[ x \approx 5.7596, \]
входит в интервал \((-2.618, 6)\).
Для \(k=1\):
\[ x \approx 5.7596 + 6.2832 \approx 12.043, \]
не входит, так как больше 6.
Для \(k=-1\):
\[ x \approx 5.7596 - 6.2832 \approx -0.5236, \]
входит в интервал.
Итоговые решения в заданном интервале:
\[ x \approx -0.5236, \quad \text{и} \quad 3.665, \]
или в точных рациональных виде:
\[ x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{при } k=-1, \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{при } k=0. \]
Ответ:
\[ x \in \left\{-\frac{\pi}{6} + 2k\pi,\quad \text{где } k=-1,\quad и \quad \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{где } k=0\right\}. \]
Более конкретно:
\[ x \approx -0.5236 \quad (\text{или } -\frac{\pi}{6}), \quad \text{и} \quad 3.665 \quad (\text{или } \frac{7\pi}{6}). \]
Если есть вопросы или нужно более точное решение, обращайтесь!
