Sin x=-1/2,x принадлежит(-5π/6;6)

Давайте разберём задачу подробно. **Задача:** \(\sin x = -\frac{1}{2}\), где \(x \in \left(-\frac{5\pi}{6}; 6\right)\). Цель — понять, как найти все значения \(x\), при которых синус равен \(-\frac{1}{2}\), и выбрать из них те, что попадают в заданный интервал. --- ### Шаг 1. Определим основные решения уравнения \(\sin x = -\frac{1}{2}\). Из тригонометрии знаем: - \(\sin x = \frac{1}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\). - \(\sin x = -\frac{1}{2}\) при тех же основных точках, но в противоположных квадрантах (третий и четвёртый), то есть: \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}. \] Это основные решения для \(\sin x = -\frac{1}{2}\), но обычно удобнее запомнить, что синус отрицателен в третьем и четвёртом квадрантах. --- ### Шаг 2. Запишем конкретные решения. Значения \(x\), при которых \(\sin x = -\frac{1}{2}\), — это: \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \] где \(k \in \mathbb{Z}\). --- ### Шаг 3. Найдём все такие \(x\), которые лежат в интервале \(\left(-\frac{5\pi}{6}; 6\right)\). Обратим внимание: - Верхняя граница: \(6\) — это примерно \(6 \approx 1.9106\pi\) (так как \(\pi \approx 3.1416\)), но лучше всего держать границы в радианах. Значит, интервал: \(\left(-\frac{5\pi}{6}, 6\right)\). Рассчитаем точнее: \[ -\frac{5\pi}{6} \approx -\frac{5 \times 3.1416}{6} \approx -2.618. \] Обозначим границы: - Нижняя граница: \(-2.618\), - Верхняя граница: \(6\). Теперь найдём все решения, попадающие в этот диапазон. --- ### Шаг 4. Проверка значения для каждого варианта: #### Первое решение: \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\). - \(\frac{7\pi}{6} \approx 3.665\). - Для того, чтобы \(x\) было меньше 6, нужно проверить \(k\): \[ x = 3.665 + 2k\pi. \] Исключим значения, которые не входят в интервал. - Для \(k=0\): \[ x \approx 3.665, \] это входит в интервал \((-2.618, 6)\). - Для \(k=1\): \[ x \approx 3.665 + 2 \times 3.1416 \approx 3.665 + 6.2832 = 9.9482, \] это уже больше 6, не входит. - Для \(k=-1\): \[ x \approx 3.665 - 6.2832 = -2.6182, \] что чуть-чут ниже \(-2.618\), то есть **не входит** в интервал. Итак, первое решение — это: \[ x \approx 3.665 \quad (\text{или } \frac{7\pi}{6}), \] ведь оно точно входит. --- #### Второе решение: \(x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi\). - \(\frac{11\pi}{6} \approx 5.7596\). - Для \(k=0\): \[ x \approx 5.7596, \] входит в интервал \((-2.618, 6)\). - Для \(k=1\): \[ x \approx 5.7596 + 6.2832 \approx 12.043, \] не входит, так как больше 6. - Для \(k=-1\): \[ x \approx 5.7596 - 6.2832 \approx -0.5236, \] входит в интервал. --- ### Итоговые решения в заданном интервале: \[ x \approx -0.5236, \quad \text{и} \quad 3.665, \] или в точных рациональных виде: \[ x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{при } k=-1, \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{при } k=0. \] --- ### **Ответ:** \[ x \in \left\{-\frac{\pi}{6} + 2k\pi,\quad \text{где } k=-1,\quad и \quad \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{где } k=0\right\}. \] Более конкретно: \[ x \approx -0.5236 \quad (\text{или } -\frac{\pi}{6}), \quad \text{и} \quad 3.665 \quad (\text{или } \frac{7\pi}{6}). \] --- Если есть вопросы или нужно более точное решение, обращайтесь!