Давайте подробно разберем задачу и решим по шагам.
Дано:
- Велосипедист и бегун начинают движение одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу.
- Они встречаются через 30 минут.
- Время, которое велосипедисту потребуется, чтобы пройти весь путь между А и В, равно 45 минут.
Задача:
Найти, за сколько минут бегун преодолеет расстояние между А и В.
Шаг 1. Обозначим переменные
- Обозначим полный путь между А и В как (S).
- Пусть скорость бегуна — (v_b), а скорость велосипедиста — (v_v).
- Время, за которое бегун пройдёт весь путь (S), — это искомое значение (t_b).
- Время, за которое велосипедист пройдёт весь путь (S), — 45 минут.
Шаг 2. Выразим скорости
Поскольку велосипедист за 45 минут проходит весь путь (S), его скорость:
[
v_v = \frac{S}{45}.
]
Аналогично, пусть время бегуна для полного пути — (t_b), тогда:
[
v_b = \frac{S}{t_b}.
]
Шаг 3. Вычислим пройденное расстояние за 30 минут
Они встречаются через 30 минут после начала движения. За это время суммарный пройденный путь равен (S):
[
v_b \times 30 + v_v \times 30 = S.
]
Это можно записать как:
[
30 \left(\frac{S}{t_b} + \frac{S}{45}\right) = S.
]
Шаг 4. Упростим уравнение
Разделим обе части на (S):
[
30 \left(\frac{1}{t_b} + \frac{1}{45}\right) = 1.
]
Раскроем скобки:
[
30 \left(\frac{1}{t_b} + \frac{1}{45}\right) = 1.
]
Решим уравнение относительно (t_b).
Шаг 5. Решение уравнения
Раскроем скобки:
[
\frac{30}{t_b} + \frac{30}{45} = 1.
]
Заметим, что (\frac{30}{45} = \frac{2}{3}). Тогда:
[
\frac{30}{t_b} + \frac{2}{3} = 1.
]
Вычтем (\frac{2}{3}) из обеих частей:
[
\frac{30}{t_b} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.
]
Теперь выразим (t_b):
[
\frac{30}{t_b} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad t_b = 30 \times 3 = 90.
]
Ответ:
Бегуну потребуется 90 минут, чтобы преодолеть весь путь между пунктами А и В.
