Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 60 60 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся…

Давайте обозначим:

• Пусть первый дизайнер зарабатывает в час как \(x\) (часы на выполнение всей работы).
• Пусть второй дизайнер зарабатывает в час как \(y\) (часы на выполнение всей работы).

Нам нужно найти, за сколько часов каждый дизайнер выполнит работу в одиночку: это будут \(T_1\) и \(T_2\).

Из условие задачи знаем:

1. Совместная работа за 60 часов —
   \[ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{1}{60} \] где \(\frac{1}{T_1}\) — доля работы, которую выполняет первый за 1 час, и аналогично \(\frac{1}{T_2}\).

2. Если один делает половину работы, а другой оставшуюся, то вся работа за 169 часов —
   \[ T_1 + T_2 = 169 \]

Теперь решим систему:

\[ \begin{cases} \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{1}{60} \\ T_1 + T_2 = 169 \end{cases} \]

Из второго уравнения выразим \(T_2 = 169 - T_1\).

Подставим в первое уравнение:

\[ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{169 - T_1} = \frac{1}{60} \]

Объединим дроби:

\[ \frac{(169 - T_1) + T_1}{T_1 (169 - T_1)} = \frac{1}{60} \]

Что даёт:

\[ \frac{169}{T_1 (169 - T_1)} = \frac{1}{60} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ 169 \times 60 = T_1 (169 - T_1) \]

\[ 10140 = 169 T_1 - T_1^2 \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ T_1^2 - 169 T_1 + 10140 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \(T_1\):

\[ T_1^2 - 169 T_1 + 10140 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (169)^2 - 4 \times 1 \times 10140 \] \[ D = 28561 - 40560 = -11999 \]

Дискриминант отрицателен, что означает, что я допустил ошибку в интерпретации условие. Вероятнее, нужно было считать не так. Рассмотрим другую интерпретацию — рабочая скорость по часам.

---

Давайте попробуем иначе: Пусть \(t_1\) — время, за которое первый дизайнер выполнит работу, работая один, а \(t_2\) — второй.

Из условия:

• Совместная работа за 60 часов:
  \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{60} \]

• Второй сценарий: половину работы делает первый, половину — второй, за 169 часов:
  \[ t_1 + t_2 = 169 \]

Здесь две переменные — \(t_1\) и \(t_2\), и их сумма известна. Решим систему:

\[ \begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{60} \\ t_1 + t_2 = 169 \end{cases} \]

Выразим \(t_2 = 169 - t_1\).

Подставляем в первое уравнение:

\[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{169 - t_1} = \frac{1}{60} \]

Общий знаменатель: \(t_1 (169 - t_1)\):

\[ \frac{169 - t_1 + t_1}{t_1 (169 - t_1)} = \frac{1}{60} \] \[ \frac{169}{t_1 (169 - t_1)} = \frac{1}{60} \]

Перемножим:

\[ 169 \times 60 = t_1 (169 - t_1) \] \[ 10140 = 169 t_1 - t_1^2 \]

Это — действительно квадратичное уравнение:

\[ t_1^2 - 169 t_1 + 10140 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (169)^2 - 4\times1\times10140 \]

Вычислим \(169^2\):

\[ 169^2 = 28561 \]

Теперь посчитаем:

\[ D = 28561 - 4 \times 10140 = 28561 - 40560 = -11999 \]

D отрицателен, следовательно, корней нет — что свидетельствует о том, что при таких данных система несостоятельна.

---

Возможно, в условии или понимании задачи есть нюанс. Перепроверьте текст:

"Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ за 60 часов.
Если бы половину работы сделал один, а другую — другой, то работа бы заняла 169 часов."

Это означает, что:

• Совместная скорость: \( \frac{1}{60} \) работы в час.
• Если один делает половину работы (1/2), а другой — оставшуюся половину — за 169 часов.

Значит:

\[ \frac{1/2}{T_1} = \text{скорость первого} \quad \Rightarrow \quad \text{скорость первого} = \frac{1/2}{T_1} \]

Но это сложно интерпретировать. Другой вариант: первый и второй дизайнеры — это два раздельных работника, и:

• сумма их скоростей — \( \frac{1}{60} \),
• а время, за которое один работает половину, а другой оставшуюся, равно 169 часов.

Если предположить, что:

• Первый дизайнер за \(T_1\) часов выполнит всю работу,
• Второй — за \(T_2\),
• тогда \(\frac{1}{T_1}\) и \(\frac{1}{T_2}\) — их скорости в работе в час.

Совместная работа — \(T\) часов, и:

\[ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{1}{60} \]

Половина работы — 0.5, ее делают оба по очереди. Первый делает половину — за \(T_1\) часов, второй — за \(T_2\).

Общий уровень времени — 169 часов:

\[ T_1 + T_2 = 169 \]

Вполне кажется, что правильные переменные — это \(T_1\) и \(T_2\) — времена работы каждого.

Тогда: из первых уравнений получается:

\[ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{1}{60} \] и \[ T_1 + T_2 = 169 \]

Решим систему относительно \(T_1\) и \(T_2\).

Выразим \(T_2 = 169 - T_1\), подставим в первое уравнение:

\[ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{169 - T_1} = \frac{1}{60} \]

Общий знаменатель: \(T_1 (169 - T_1)\):

\[ \frac{169 - T_1 + T_1}{T_1 (169 - T_1)} = \frac{1}{60} \] \[ \frac{169}{T_1 (169 - T_1)} = \frac{1}{60} \]

Перекрестное умножение:

\[ 169 \times 60 = T_1 (169 - T_1) \]

\[ 10140 = 169 T_1 - T_1^2 \]

Перенесем все в левую часть:

\[ T_1^2 - 169 T_1 + 10140 = 0 \]

Посчитаем дискриминант:

\[ D = 169^2 - 4 \times 1 \times 10140 = 28561 - 40560 = -11999 \]

Дискриминант отрицателен, что говорит о невозможности решить систему с данными предположениями.

---

Это говорит о том, что в условии могут быть некоторые неточности или, возможно, подразумевались другие параметры.

---

Итоговое решение исходя из первоначальных предположений:

Верное понимание задачи — это:

• Общее время совместной работы — 60 часов.
• Время, за которое один дизайнер делает половину работы, а другой — оставшуюся — 169 часов.

Используя эти данные, и устранив возможные неточности, лучше всего подойдет следующий подход к решению:

Обозначим:

• \(T_1\) — время, за которое первый дизайнер делает всю работу.
• \(T_2\) — время, за которое второй дизайнер делает всю работу.

Тогда:

\[ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{1}{60} \]

и

\[ \frac{T_1}{2} + \frac{T_2}{2} = 169 \]

или

\[ T_1 + T_2 = 338 \]

Обратимся к данной системе:

\[ \begin{cases} \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{1}{60} \\ T_1 + T_2 = 338 \end{cases} \]

Выразим \(T_2 = 338 - T_1\):

\[ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{338 - T_1} = \frac{1}{60} \]

Далее — такой же расчет:

Общий знаменатель: \(T_1 (338 - T_1)\):

\[ \frac{338 - T_1 + T_1}{T_1 (338 - T_1)} = \frac{1}{60} \] \[ \frac{338}{T_1 (338 - T_1)} = \frac{1}{60} \]

Перемножим:

\[ 338 \times 60 = T_1 (338 - T_1) \] \[ 20280 = 338 T_1 - T_1^2 \]

Перенесем в левую часть:

\[ T_1^2 - 338 T_1 + 20280 = 0 \]

Вычислим дискриминант:

\[ D = 338^2 - 4 \times 1 \times 20280 \]

Посчитаем \(338^2\):

\[ 338^2 = 114244 \]

Итак:

\[ D = 114244 - 81120 = 33124 \]

Дискриминант положителен. Найдём корни:

\[ T_1 = \frac{338 \pm \sqrt{33124}}{2} \]

Рассчитаем \(\sqrt{33124}\):

\[ \sqrt{33124} \approx 182.02 \]

Тогда:

\[ T_1 \approx \frac{338 \pm 182.02}{2} \]

Первый вариант:

\[ T_1 \approx \frac{338 + 182.02}{2} = \frac{520.02}{2} = 260.01 \]

Второй вариант:

\[ T_1 \approx \frac{338 - 182.02}{2} = \frac{155.98}{2} = 77.99 \]

Значит, два возможных варианта:

• Один дизайнер работает за ~78 часов
• Другой — за ~260 часов

Проверка:

\(T_2 = 338 - T_1\):

• Тогда, если первый дизайнер за ~78 часов, второй — за \(338 - 78 = 260\) часов.

Итог: каждый дизайнер мог бы выполнить работу в одиночку за примерно 78 и 260 часов соответственно.

---

Итоговый ответ:

Первый дизайнер может оформить учебник за ~78 часов, а второй — за ~260 часов.