Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 60 60 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 169 169 часов. За сколько часов мог бы оформить учебник алгебры каждый дизайнер, работая отдельно?

Давайте обозначим: - Пусть первый дизайнер зарабатывает в час как \(x\) (часы на выполнение всей работы). - Пусть второй дизайнер зарабатывает в час как \(y\) (часы на выполнение всей работы). Нам нужно найти, за сколько часов каждый дизайнер выполнит работу в одиночку: это будут \(T_1\) и \(T_2\). Из условие задачи знаем: 1. Совместная работа за 60 часов — \[ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{1}{60} \] где \(\frac{1}{T_1}\) — доля работы, которую выполняет первый за 1 час, и аналогично \(\frac{1}{T_2}\). 2. Если один делает половину работы, а другой оставшуюся, то вся работа за 169 часов — \[ T_1 + T_2 = 169 \] Теперь решим систему: \[ \begin{cases} \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{1}{60} \\ T_1 + T_2 = 169 \end{cases} \] Из второго уравнения выразим \(T_2 = 169 - T_1\). Подставим в первое уравнение: \[ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{169 - T_1} = \frac{1}{60} \] Объединим дроби: \[ \frac{(169 - T_1) + T_1}{T_1 (169 - T_1)} = \frac{1}{60} \] Что даёт: \[ \frac{169}{T_1 (169 - T_1)} = \frac{1}{60} \] Перемножим крест-накрест: \[ 169 \times 60 = T_1 (169 - T_1) \] \[ 10140 = 169 T_1 - T_1^2 \] Перенесём всё в одну сторону: \[ T_1^2 - 169 T_1 + 10140 = 0 \] Это квадратное уравнение относительно \(T_1\): \[ T_1^2 - 169 T_1 + 10140 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (169)^2 - 4 \times 1 \times 10140 \] \[ D = 28561 - 40560 = -11999 \] Дискриминант отрицателен, что означает, что я допустил ошибку в интерпретации условие. Вероятнее, нужно было считать не так. Рассмотрим другую интерпретацию — рабочая скорость по часам. --- Давайте попробуем иначе: Пусть \(t_1\) — время, за которое первый дизайнер выполнит работу, работая один, а \(t_2\) — второй. Из условия: - Совместная работа за 60 часов: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{60} \] - Второй сценарий: половину работы делает первый, половину — второй, за 169 часов: \[ t_1 + t_2 = 169 \] Здесь две переменные — \(t_1\) и \(t_2\), и их сумма известна. Решим систему: \[ \begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{60} \\ t_1 + t_2 = 169 \end{cases} \] Выразим \(t_2 = 169 - t_1\). Подставляем в первое уравнение: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{169 - t_1} = \frac{1}{60} \] Общий знаменатель: \(t_1 (169 - t_1)\): \[ \frac{169 - t_1 + t_1}{t_1 (169 - t_1)} = \frac{1}{60} \] \[ \frac{169}{t_1 (169 - t_1)} = \frac{1}{60} \] Перемножим: \[ 169 \times 60 = t_1 (169 - t_1) \] \[ 10140 = 169 t_1 - t_1^2 \] Это — действительно квадратичное уравнение: \[ t_1^2 - 169 t_1 + 10140 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (169)^2 - 4\times1\times10140 \] Вычислим \(169^2\): \[ 169^2 = 28561 \] Теперь посчитаем: \[ D = 28561 - 4 \times 10140 = 28561 - 40560 = -11999 \] D отрицателен, следовательно, корней нет — что свидетельствует о том, что при таких данных система несостоятельна. --- Возможно, в условии или понимании задачи есть нюанс. Перепроверьте текст: "Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ за 60 часов. Если бы половину работы сделал один, а другую — другой, то работа бы заняла 169 часов." Это означает, что: - Совместная скорость: \( \frac{1}{60} \) работы в час. - Если один делает половину работы (1/2), а другой — оставшуюся половину — за 169 часов. Значит: \[ \frac{1/2}{T_1} = \text{скорость первого} \quad \Rightarrow \quad \text{скорость первого} = \frac{1/2}{T_1} \] Но это сложно интерпретировать. Другой вариант: первый и второй дизайнеры — это два раздельных работника, и: - сумма их скоростей — \( \frac{1}{60} \), - а время, за которое один работает половину, а другой оставшуюся, равно 169 часов. Если предположить, что: - Первый дизайнер за \(T_1\) часов выполнит всю работу, - Второй — за \(T_2\), - тогда \(\frac{1}{T_1}\) и \(\frac{1}{T_2}\) — их скорости в работе в час. Совместная работа — \(T\) часов, и: \[ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{1}{60} \] Половина работы — 0.5, ее делают оба по очереди. Первый делает половину — за \(T_1\) часов, второй — за \(T_2\). Общий уровень времени — 169 часов: \[ T_1 + T_2 = 169 \] Вполне кажется, что правильные переменные — это \(T_1\) и \(T_2\) — времена работы каждого. Тогда: из первых уравнений получается: \[ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{1}{60} \] и \[ T_1 + T_2 = 169 \] Решим систему относительно \(T_1\) и \(T_2\). Выразим \(T_2 = 169 - T_1\), подставим в первое уравнение: \[ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{169 - T_1} = \frac{1}{60} \] Общий знаменатель: \(T_1 (169 - T_1)\): \[ \frac{169 - T_1 + T_1}{T_1 (169 - T_1)} = \frac{1}{60} \] \[ \frac{169}{T_1 (169 - T_1)} = \frac{1}{60} \] Перекрестное умножение: \[ 169 \times 60 = T_1 (169 - T_1) \] \[ 10140 = 169 T_1 - T_1^2 \] Перенесем все в левую часть: \[ T_1^2 - 169 T_1 + 10140 = 0 \] Посчитаем дискриминант: \[ D = 169^2 - 4 \times 1 \times 10140 = 28561 - 40560 = -11999 \] Дискриминант отрицателен, что говорит о невозможности решить систему с данными предположениями. --- Это говорит о том, что в условии могут быть некоторые неточности или, возможно, подразумевались другие параметры. --- ### Итоговое решение исходя из первоначальных предположений: Верное понимание задачи — это: - Общее время совместной работы — 60 часов. - Время, за которое один дизайнер делает половину работы, а другой — оставшуюся — 169 часов. Используя эти данные, и устранив возможные неточности, лучше всего подойдет следующий подход к решению: Обозначим: - \(T_1\) — время, за которое первый дизайнер делает всю работу. - \(T_2\) — время, за которое второй дизайнер делает всю работу. Тогда: \[ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{1}{60} \] и \[ \frac{T_1}{2} + \frac{T_2}{2} = 169 \] или \[ T_1 + T_2 = 338 \] Обратимся к данной системе: \[ \begin{cases} \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{1}{60} \\ T_1 + T_2 = 338 \end{cases} \] Выразим \(T_2 = 338 - T_1\): \[ \frac{1}{T_1} + \frac{1}{338 - T_1} = \frac{1}{60} \] Далее — такой же расчет: Общий знаменатель: \(T_1 (338 - T_1)\): \[ \frac{338 - T_1 + T_1}{T_1 (338 - T_1)} = \frac{1}{60} \] \[ \frac{338}{T_1 (338 - T_1)} = \frac{1}{60} \] Перемножим: \[ 338 \times 60 = T_1 (338 - T_1) \] \[ 20280 = 338 T_1 - T_1^2 \] Перенесем в левую часть: \[ T_1^2 - 338 T_1 + 20280 = 0 \] Вычислим дискриминант: \[ D = 338^2 - 4 \times 1 \times 20280 \] Посчитаем \(338^2\): \[ 338^2 = 114244 \] Итак: \[ D = 114244 - 81120 = 33124 \] Дискриминант положителен. Найдём корни: \[ T_1 = \frac{338 \pm \sqrt{33124}}{2} \] Рассчитаем \(\sqrt{33124}\): \[ \sqrt{33124} \approx 182.02 \] Тогда: \[ T_1 \approx \frac{338 \pm 182.02}{2} \] Первый вариант: \[ T_1 \approx \frac{338 + 182.02}{2} = \frac{520.02}{2} = 260.01 \] Второй вариант: \[ T_1 \approx \frac{338 - 182.02}{2} = \frac{155.98}{2} = 77.99 \] Значит, два возможных варианта: - Один дизайнер работает за ~78 часов - Другой — за ~260 часов Проверка: \(T_2 = 338 - T_1\): - Тогда, если первый дизайнер за ~78 часов, второй — за \(338 - 78 = 260\) часов. Итог: каждый дизайнер мог бы выполнить работу в одиночку за примерно **78 и 260 часов** соответственно. --- ### Итоговый ответ: **Первый дизайнер может оформить учебник за ~78 часов, а второй — за ~260 часов.**