Рассмотрим задачу: два проводника с сопротивлениями R₁ и R₂ при последовательном и параллельном соединениях имеют следующие свойства:
При последовательном соединении их суммарное сопротивление равно 27 Ом:
[
R_{\text{послед}} = R_1 + R_2 = 27 \ \text{Ом}
]
При параллельном соединении их сопротивление равно 6 Ом:
[
R_{\text{параллель}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 6 \ \text{Ом}
]
Нам нужно найти сопротивления ( R_1 ) и ( R_2 ).
Шаг 1: Запишем уравнения
- ( R_1 + R_2 = 27 )
- (\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 6 )
Подставим из первого уравнения во второе:
[
\frac{R_1 R_2}{27} = 6
]
Рассчитаем произведение ( R_1 R_2 ):
[
R_1 R_2 = 6 \times 27 = 162
]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения
У нас есть система:
[
R_1 + R_2 = 27
]
[
R_1 R_2 = 162
]
Это уравнение похоже на уравнение для корней квадратного уравнения:
[
x^2 - (R_1 + R_2) x + R_1 R_2 = 0
]
или
[
x^2 - 27 x + 162 = 0
]
где ( x ) — это сопротивление каждого из проводников (переменные ( R_1 ) и ( R_2 )). Найдём корни этого уравнения.
Шаг 3: Находим дискриминант
[
D = (27)^2 - 4 \times 1 \times 162 = 729 - 648 = 81
]
Квадратный корень из дискриминанта:
[
\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9
]
Шаг 4: Находим корни уравнения
[
x_{1,2} = \frac{27 \pm 9}{2}
]
[
x_1 = \frac{27 + 9}{2} = \frac{36}{2} = 18
]
[
x_2 = \frac{27 - 9}{2} = \frac{18}{2} = 9
]
Ответ:
[
\boxed{
R_1 = 18,\text{Ом}, \quad R_2 = 9,\text{Ом}
}
]
или наоборот, поскольку сопротивления не важны по порядку.
Если нужно, я могу помочь с дополнительными объяснениями!
