Решить дифференциальное уравнение 2 порядка, допускающее понижение степени    у 6 x 2

Дано дифференциальное уравнение второго порядка:

\[ y'' = y - 6x^2 \]

Это уравнение можно представить в виде:

\[ y'' - y = -6x^2 \]

Это — линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Рассмотрим однородное уравнение:

\[ y'' - y = 0 \]

Характеристическое уравнение:

\[ r^2 - 1 = 0 \]

\[ r^2 = 1 \]

\[ r = \pm 1 \]

Значит, общее решение однородного уравнения:

\[ y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \]

Шаг 2: Поиск частного решения

Дано неоднородное уравнение с правой частью \(-6x^2\). Поскольку правая часть — полином второго порядка, попробуем найти частное решение полиномом степени 2:

\[ y_p = A x^2 + B x + C \]

Вычислим его второй производной:

\[ y_p' = 2A x + B \]

\[ y_p'' = 2A \]

Подставляем в уравнение:

\[ y_p'' - y_p = -6x^2 \]

\[ 2A - (A x^2 + B x + C) = -6x^2 \]

Разделим по степеням и приравняем коэффициенты:

Для \(x^2\):

\[ -A = -6 \Rightarrow A = 6 \]

Для \(x\):

\[ -B = 0 \Rightarrow B = 0 \]

Свободный член:

\[ 2A - C = 0 \Rightarrow 2 \times 6 - C = 0 \Rightarrow 12 - C = 0 \Rightarrow C = 12 \]

Итак, частное решение:

\[ y_p = 6 x^2 + 0 \times x + 12 = 6 x^2 + 12 \]

Шаг 3: Общее решение

Общее решение уравнения — сумма общего решения однородного уравнения и частного решения:

\[ \boxed{ y = y_h + y_p = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} + 6 x^2 + 12 } \]

Это и есть решение данного дифференциального уравнения.