Дано дифференциальное уравнение второго порядка:
[ y'' = y - 6x^2 ]
Это уравнение можно представить в виде:
[ y'' - y = -6x^2 ]
Это — линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Шаг 1: Решение однородного уравнения
Рассмотрим однородное уравнение:
[ y'' - y = 0 ]
Характеристическое уравнение:
[ r^2 - 1 = 0 ]
[ r^2 = 1 ]
[ r = \pm 1 ]
Значит, общее решение однородного уравнения:
[ y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} ]
Шаг 2: Поиск частного решения
Дано неоднородное уравнение с правой частью (-6x^2). Поскольку правая часть — полином второго порядка, попробуем найти частное решение полиномом степени 2:
[ y_p = A x^2 + B x + C ]
Вычислим его второй производной:
[ y_p' = 2A x + B ]
[ y_p'' = 2A ]
Подставляем в уравнение:
[ y_p'' - y_p = -6x^2 ]
[ 2A - (A x^2 + B x + C) = -6x^2 ]
Разделим по степеням и приравняем коэффициенты:
Для (x^2):
[ -A = -6 \Rightarrow A = 6 ]
Для (x):
[ -B = 0 \Rightarrow B = 0 ]
Свободный член:
[ 2A - C = 0 \Rightarrow 2 \times 6 - C = 0 \Rightarrow 12 - C = 0 \Rightarrow C = 12 ]
Итак, частное решение:
[ y_p = 6 x^2 + 0 \times x + 12 = 6 x^2 + 12 ]
Шаг 3: Общее решение
Общее решение уравнения — сумма общего решения однородного уравнения и частного решения:
[
\boxed{
y = y_h + y_p = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} + 6 x^2 + 12
}
]
Это и есть решение данного дифференциального уравнения.
