3. АBCDA1B1C1D1 - куб. К - середина ребра АА1. О - центр АBCD. Запишите вектор с началом и концом в вершинах куба или данных точках, кт равный DO - CO + AA1 - BC.
Давайте разберемся с условием шаг за шагом и подробно объясним, что требуется сделать.
Дано:
Куб, обозначим его вершины:
A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁
где A, B, C, D — верхняя граня, а A₁, B₁, C₁, D₁ — нижняя.Точки и объекты:
- K — середина ребра АА₁
- O — центр фигуры ABCD
Необходимо записать вектор DO - CO + AA₁ - BC, где
- D, O, C, A, A₁, B, C — вершины и точки куба.
- Вектора обозначаются в виде \(\vec{XY}\), где X — начальная точка, Y — конечная.
Шаг 1: Найдем координаты ключевых точек
Для удобства работы возьмем систему координат:
- Пусть вершина A имеет координаты \((0,0,0)\)
- Вершина D в верхней грани, по x — поблизости, по y — поблизости, по z — на высоте 1
Обозначим длину ребра куба как 1 для простоты.
Тогда:
| Вершина | Координаты |
|---|---|
| A | \((0,0,0)\) |
| B | \((1,0,0)\) |
| C | \((1,1,0)\) |
| D | \((0,1,0)\) |
| A₁ | \((0,0,1)\) |
| B₁ | \((1,0,1)\) |
| C₁ | \((1,1,1)\) |
| D₁ | \((0,1,1)\) |
Шаг 2: Найти координаты точек K и O
K — середина ребра АА₁
\[ \vec{K} = \frac{\vec{A} + \vec{A_1}}{2} = \frac{(0,0,0)+(0,0,1)}{2} = (0,0,\frac{1}{2}) \]O — центр фигуры ABCD
Центр квадрата — это среднее арифметическое координат вершин A, B, C, D:
\[ \vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{4} = \frac{(0,0,0)+(1,0,0)+(1,1,0)+(0,1,0)}{4} = \left(\frac{0+1+1+0}{4}, \frac{0+0+1+1}{4}, 0\right) = \left(\frac{2}{4}, \frac{2}{4}, 0\right) = \left(0.5, 0.5, 0\right) \]
Шаг 3: Запишем искомый вектор \(\vec{DO} - \vec{CO} + \vec{AA_1} - \vec{BC}\)
Нужно найти все эти векторы.
Вектор \(\vec{DO}\)
- \(D = (0, 1, 0)\)
- \(O = (0.5, 0.5, 0)\)
\[ \vec{DO} = \vec{O} - \vec{D} = (0.5 - 0, 0.5 - 1, 0 - 0) = (0.5, -0.5, 0) \]
Вектор \(\vec{CO}\)
- \(C = (1, 1, 0)\)
- \(O = (0.5, 0.5, 0)\)
\[ \vec{CO} = (0.5 - 1, 0.5 - 1, 0 - 0) = (-0.5, -0.5, 0) \]
Вектор \(\vec{AA_1}\)
- \(A = (0, 0, 0)\)
- \(A_1 = (0, 0, 1)\)
\[ \vec{AA_1} = (0 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (0, 0, 1) \]
Вектор \(\vec{BC}\)
- \(B = (1, 0, 0)\)
- \(C = (1, 1, 0)\)
\[ \vec{BC} = (1 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (0, 1, 0) \]
Шаг 4: Выполняем необходимые сложения и вычитания
\[ \boxed{ \vec{V} = (\vec{DO} - \vec{CO}) + \vec{AA_1} - \vec{BC} } \]
Подставляем полученные значения:
\[ \vec{DO} - \vec{CO} = (0.5, -0.5, 0) - (-0.5, -0.5, 0) = (0.5 + 0.5, -0.5 + 0.5, 0 - 0) = (1, 0, 0) \]
Далее:
\[ \vec{V} = (1, 0, 0) + (0, 0, 1) - (0, 1, 0) \]
Складываем и вычитаем компоненты:
\[ (1 + 0 - 0, 0 + 0 - 1, 0 + 1 - 0) = (1, -1, 1) \]
Итог:
Вектор \(\vec{V} = (1, -1, 1)\).
Ответ:
Записанный вектор:
\[ \boxed{ \vec{V} = \vec{D} \to \vec{O} - \vec{C} + \vec{A A_1} - \vec{B C} = (1, -1, 1) } \]
Он начинается в точке D(0,1,0) и указывает в сторону, соответствующую окончанию этого вектора. Если нужно указать начальную и конечную точки этого вектора, то:
- Начало: \(D = (0, 1, 0)\)
- Конец: \(D + \vec{V} = (0 + 1, 1 - 1, 0 + 1) = (1, 0, 1)\)
Итоговая запись:
Вектор:
\[ \overrightarrow{D\, (1, 0, 1)} \]
или просто
\[ \vec{D\text{-} (1, 0, 1)} \]
или в виде начальной и конечной точек:
\[ \boxed{ \text{Начало: } D(0,1,0), \quad \text{Конец: } (1,0,1) } \]
Если есть еще вопросы или нужно подробнее — обращайтесь!
