реши иррациональное уравнение √5x+√14-x=8
Давайте решим данное иррациональное уравнение:
\[ \sqrt{5x} + \sqrt{14 - x} = 8 \]
Шаг 1. Определим область допустимых значений
- Чтобы выражения под корнями были определены:
- \(5x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0\)
- \(14 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 14\)
Следовательно, область допустимых значений: \(0 \leq x \leq 14\).
Шаг 2. Сделаем замену для упрощения
Пусть: \[ a = \sqrt{5x} \] \[ b = \sqrt{14 - x} \]
Тогда у нас есть система: \[ a + b = 8 \] и \[ a^2 = 5x \] \[ b^2 = 14 - x \]
Из первых двух уравнений: \[ a + b = 8 \] \[ a^2 = 5x \Rightarrow x = \frac{a^2}{5} \] \[ b^2 = 14 - x \]
Подставим \(x = \frac{a^2}{5}\) в \(b^2 = 14 - x\): \[ b^2 = 14 - \frac{a^2}{5} \]
Шаг 3. Используем выражение для \(b\)
Поскольку \(a + b = 8\), то: \[ b = 8 - a \] и подставим в выражение для \(b^2\): \[ (8 - a)^2 = 14 - \frac{a^2}{5} \]
Раскроем скобки: \[ 64 - 16a + a^2 = 14 - \frac{a^2}{5} \]
Перенесем все в одну сторону: \[ 64 - 16a + a^2 - 14 + \frac{a^2}{5} = 0 \] \[ (64 - 14) - 16a + a^2 + \frac{a^2}{5} = 0 \] \[ 50 - 16a + a^2 + \frac{a^2}{5} = 0 \]
Объединим подобные члены с \(a^2\): \[ a^2 + \frac{a^2}{5} = \frac{5a^2}{5} + \frac{a^2}{5} = \frac{6a^2}{5} \]
Теперь уравнение выглядит так: \[ 50 - 16a + \frac{6a^2}{5} = 0 \]
Умножим все на 5, чтобы избавиться от дроби: \[ 5 \cdot 50 - 5 \cdot 16a + 6a^2 = 0 \] \[ 250 - 80a + 6a^2 = 0 \]
Обозначим: \[ 6a^2 - 80a + 250 = 0 \]
Шаг 4. Решим квадратное уравнение
Делим всю формулу на 2 для удобства: \[ 3a^2 - 40a + 125 = 0 \]
Подробнее решим: \[ a = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 125}}{2 \cdot 3} \]
Вычислим дискриминант: \[ D = 1600 - 4 \cdot 3 \cdot 125 = 1600 - 1500 = 100 \]
Найдём корни: \[ a = \frac{40 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{40 \pm 10}{6} \]
Таким образом:
- Первый корень: \[ a_1 = \frac{40 + 10}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \approx 8.33 \]
- Второй корень: \[ a_2 = \frac{40 - 10}{6} = \frac{30}{6} = 5 \]
Шаг 5. Найдём \(x\)
Recall: \[ x = \frac{a^2}{5} \]
Для \(a_1 = \frac{25}{3}\):
\[
x_1 = \frac{\left(\frac{25}{3}\right)^2}{5} = \frac{\frac{625}{9}}{5} = \frac{625}{9} \cdot \frac{1}{5} = \frac{625}{45} = \frac{125}{9} \approx 13.89
\]
Проверим, входит ли в область \(0 \leq x \leq 14\):
Да, \(13.89 \in [0,14]\).
Для \(a_2 = 5\): \[ x_2 = \frac{5^2}{5} = \frac{25}{5} = 5 \] Также входит в область, так как \(5 \in [0,14]\).
Шаг 6. Проверим полученные решения
Подставим обратно в исходное уравнение:
- Для \(x \approx 13.89\): \[ \sqrt{5 \cdot 13.89} + \sqrt{14 - 13.89} \approx \sqrt{69.45} + \sqrt{0.11} \approx 8.33 + 0.33 \approx 8.66 \] Это не равно 8, значит, данное решение не подходит (ошибка из-за округления).
Но точное значение \(x = \frac{125}{9}\) — необходимо проверить строго:
\[ \sqrt{5 \cdot \frac{125}{9}} + \sqrt{14 - \frac{125}{9}} = \sqrt{\frac{625}{9}} + \sqrt{\frac{126 - 125}{9}} = \frac{25}{3} + \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \approx 8.67 \]
Но сначала было вычисление только для замены, по идее получается, что уровень точности важен для равенства, и по формуле, при точных вычислениях, сумма равна 8 не получается.
- Для \(x=5\):
\[ \sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{14 - 5} = \sqrt{25} + \sqrt{9} = 5 + 3 = 8 \]
Это точно подходит.
ИТОГ:
Решение — \(x = 5\).
Ответ: \(\boxed{5}\).
Если нужно, я могу помочь с еще более подробным объяснением или объяснить другие методы решения.
