Составить уравнение копательной к графику функции 1)y=x^3+3x, x0=3 2)y=sin2x, x0=п/4

Конечно! Ниже представлены уравнения касательных к графикам заданных функций в указанных точках.

1. Функция: \( y = x^3 + 3x \), точка: \( x_0 = 3 \)

Шаги:

1. Найти значение функции в точке \( x_0 \):

\[ y_0 = (3)^3 + 3 \cdot 3 = 27 + 9 = 36 \]

2. Найти производную функции:

\[ y' = 3x^2 + 3 \]

3. Вычислить производную в точке \( x_0 = 3 \):

\[ y'(3) = 3 \cdot (3)^2 + 3 = 3 \cdot 9 + 3 = 27 + 3 = 30 \]

4. Записать уравнение касательной через точку \( (x_0, y_0) \):

\[ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \]

\[ \boxed{ y - 36 = 30 (x - 3) } \]

или в виде:

\[ \boxed{ y = 30(x - 3) + 36 } \]

2. Функция: \( y = \sin 2x \), точка: \( x_0 = \frac{\pi}{4} \)

Шаги:

1. Найти значение функции в точке \( x_0 \):

\[ y_0 = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \]

2. Найти производную функции:

\[ y' = 2 \cos 2x \]

3. Вычислить производную в точке \( x_0 = \frac{\pi}{4} \):

\[ y'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = 2 \cos \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 = 0 \]

4. Уравнение касательной:

Поскольку наклон равен 0, касательная — горизонтальная линия, проходящая через точку \( \left(\frac{\pi}{4}, 1\right) \):

\[ \boxed{ y = 1 } \]

Если нужно, я могу помочь вам с более подробными разъяснениями или дополнительными уравнениями!