Реши задачи по алгебре

Давайте решим каждую задачу по порядку, подробно объясняя шаги. --- **Задача 16.** Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет вовсе), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает случайный набор, и в котором такие ручки. а) Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо. б) Найдите вероятность того, что ручки пишут хорошо. **Решение:** Вероятность того, что ручка пишет плохо — это 0,19. Вероятность того, что ручка пишет хорошо — это дополнение: \[ P(\text{хорошо}) = 1 - P(\text{плохо}) = 1 - 0,19 = 0,81 \] **Ответ:** а) \(0,81\) б) \(0,19\) --- **Задача 17.** Дано в геометрической прогрессии: \(a_2 = 2,\; b_3 = -7\). a) Найдите первый член прогрессии \(a_1\). b) Найдите сумму первых шести членов прогрессии. **Решение:** В условии показано 2 прогрессии: \(a_n\) и \(b_n\). Обычно, если речь о геометрической прогрессии, то пишут либо о прогрессии \(a_n\), либо о другой, и могут быть разные основания. Но, предполагая, что это одна прогрессия, и \(a_n\), то для определения первого члена и суммы нужно знать основание прогрессии \(q\). Но без дополнительных данных предположим, что \(a_2 = a_1 \cdot q = 2\). Также, чтобы найти \(a_1\), нужно знать \(q\). Допустим, что основание прогрессии знаем — потребуется дополнительное условие. Например, исходя из стандартных задач, предположим, что \(a_2 = a_1 \cdot q\), а нам нужно найти \(a_1\). Поскольку в условии есть только \(a_2 = 2\), и \(a_1\) — неизвестно, а основания нет, скорее всего, есть опечатка или недоразумение. Предположим, что \(a_2 = a_1 \cdot q = 2\). И, что \(b_3 = b_1 \cdot q_b = -7\). Если \(a_2 = 2\), то для нахождения \(a_1\) нужно знать основание \(q\). Поскольку других данных нет, и условие, кажется, неполное. --- **Убраем, переходим к следующей задаче или уточним условие.** --- **Задача 18.** Моторная лодка прошла 28 км по течению за \(t\) часов, и в обратную сторону за 25 км по течению за \(t\) часов. Затратив на весь путь столько же времени. Определите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорости течения реки равна 2 км/ч. **Решение:** Обозначим: - скорость лодки в стоячей воде — \(v\) (км/ч). - скорость течения — 2 км/ч. Тогда: - по течению: скорость лодки — \(v + 2\), время — \(\frac{28}{v+2}\) - против течения: скорость лодки — \(v - 2\), время — \(\frac{25}{v-2}\) Общий путь — затраты времени равны, следовательно, суммарное время по условию: \[ t = \frac{28}{v+2} \] \[ t = \frac{25}{v-2} \] Также, общее равно количеству: сумма двух времен — одинаковое время для двух вариантов (по условию, общее время — одинаковое). Значит: \[ \frac{28}{v+2} = \frac{25}{v-2} \] Решим уравнение: \[ 28(v-2) = 25(v+2) \] Раскроем скобки: \[ 28v - 56 = 25v + 50 \] Перенесем все в одну сторону: \[ 28v - 25v = 50 + 56 \] \[ 3v = 106 \] \[ v = \frac{106}{3} \approx 35.33\text{ км/ч} \] **Ответ:** скорость лодки в стоячей воде — approximately **35.33 км/ч**. --- **Задача 19.** Найти \( \sin(\alpha + \beta) \), \( \cos(\alpha + \beta) \), если \( \sin \alpha = \frac{8}{17} \), \( \cos \beta = \frac{4}{5} \), угол \( \alpha \), \( \beta \) — первой четверти. **Решение:** Из условия: - \( \sin \alpha = \frac{8}{17} \), тогда: \[ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17} \] (так как первый квадратный корень — положительный — в первой четверти) - \( \cos \beta = \frac{4}{5} \), тогда: \[ \sin \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \] (так как в первой четверти, \( \sin \beta > 0 \)) Теперь по формуле суммы синусов и косинусов: \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5} \] \[ = \frac{32}{85} + \frac{45}{85} = \frac{77}{85} \] Аналогично для косинуса: \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{15}{17} \cdot \frac{4}{5} - \frac{8}{17} \cdot \frac{3}{5} \] \[ = \frac{60}{85} - \frac{24}{85} = \frac{36}{85} \] **Ответ:** \[ \sin(\alpha + \beta) = \frac{77}{85} \] \[ \cos(\alpha + \beta) = \frac{36}{85} \] --- **Задача 20.** Решить неравенство: \[ \frac{x^2 + 2x - 15}{(x^2 + 4.9)^2} < 0 \] **Решение:** Обратим внимание на знаменатель: \( (x^2 + 4.9)^2 \). Он всегда положителен (или равен нулю, но \( x^2 + 4.9 > 0 \) для любого \( x \)), следовательно, не влияет на знак выражения, только на область определения — оно все \( x \), кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Тут \( x^2 + 4.9 \neq 0 \) для любого \( x \), значит, область определения вся \( \mathbb{R} \). Значит, знак неравенства определяется числителем: \[ x^2 + 2x - 15 \] Разложим числитель: \[ x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3) \] Знак выражения зависит от знака этого произведения. Нам нужно, чтобы оно было меньше нуля: \[ (x + 5)(x - 3) < 0 \] Произведение отрицательно, когда множители имеют разные знаки: - \( x + 5 > 0 \) и \( x - 3 < 0 \) → \( -5 < x < 3 \) или - \( x + 5 < 0 \) и \( x - 3 > 0 \) — невозможно, так как \( x - 3 > 0 \) означает \( x > 3 \), а \( x + 5 < 0 \) — \( x < -5 \), что несовместимо. И