Реши задачи по алгебре
Давайте решим каждую задачу по порядку, подробно объясняя шаги.
Задача 16.
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет вовсе), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает случайный набор, и в котором такие ручки.
а) Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо.
б) Найдите вероятность того, что ручки пишут хорошо.
Решение:
Вероятность того, что ручка пишет плохо — это 0,19.
Вероятность того, что ручка пишет хорошо — это дополнение:
\[ P(\text{хорошо}) = 1 - P(\text{плохо}) = 1 - 0,19 = 0,81 \]
Ответ:
а) \(0,81\)
б) \(0,19\)
Задача 17.
Дано в геометрической прогрессии: \(a_2 = 2,\; b_3 = -7\).
a) Найдите первый член прогрессии \(a_1\).
b) Найдите сумму первых шести членов прогрессии.
Решение:
В условии показано 2 прогрессии: \(a_n\) и \(b_n\). Обычно, если речь о геометрической прогрессии, то пишут либо о прогрессии \(a_n\), либо о другой, и могут быть разные основания. Но, предполагая, что это одна прогрессия, и \(a_n\), то для определения первого члена и суммы нужно знать основание прогрессии \(q\).
Но без дополнительных данных предположим, что \(a_2 = a_1 \cdot q = 2\).
Также, чтобы найти \(a_1\), нужно знать \(q\).
Допустим, что основание прогрессии знаем — потребуется дополнительное условие. Например, исходя из стандартных задач, предположим, что \(a_2 = a_1 \cdot q\), а нам нужно найти \(a_1\).
Поскольку в условии есть только \(a_2 = 2\), и \(a_1\) — неизвестно, а основания нет, скорее всего, есть опечатка или недоразумение. Предположим, что \(a_2 = a_1 \cdot q = 2\).
И, что \(b_3 = b_1 \cdot q_b = -7\).
Если \(a_2 = 2\), то для нахождения \(a_1\) нужно знать основание \(q\).
Поскольку других данных нет, и условие, кажется, неполное.
Убраем, переходим к следующей задаче или уточним условие.
Задача 18.
Моторная лодка прошла 28 км по течению за \(t\) часов, и в обратную сторону за 25 км по течению за \(t\) часов. Затратив на весь путь столько же времени. Определите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорости течения реки равна 2 км/ч.
Решение:
Обозначим:
- скорость лодки в стоячей воде — \(v\) (км/ч).
- скорость течения — 2 км/ч.
Тогда:
- по течению: скорость лодки — \(v + 2\), время — \(\frac{28}{v+2}\)
- против течения: скорость лодки — \(v - 2\), время — \(\frac{25}{v-2}\)
Общий путь — затраты времени равны, следовательно, суммарное время по условию:
\[ t = \frac{28}{v+2} \]
\[ t = \frac{25}{v-2} \]
Также, общее равно количеству: сумма двух времен — одинаковое время для двух вариантов (по условию, общее время — одинаковое).
Значит:
\[ \frac{28}{v+2} = \frac{25}{v-2} \]
Решим уравнение:
\[ 28(v-2) = 25(v+2) \]
Раскроем скобки:
\[ 28v - 56 = 25v + 50 \]
Перенесем все в одну сторону:
\[ 28v - 25v = 50 + 56 \]
\[ 3v = 106 \]
\[ v = \frac{106}{3} \approx 35.33\text{ км/ч} \]
Ответ: скорость лодки в стоячей воде — approximately 35.33 км/ч.
Задача 19.
Найти \( \sin(\alpha + \beta) \), \( \cos(\alpha + \beta) \), если \( \sin \alpha = \frac{8}{17} \), \( \cos \beta = \frac{4}{5} \), угол \( \alpha \), \( \beta \) — первой четверти.
Решение:
Из условия:
\( \sin \alpha = \frac{8}{17} \), тогда:
\[ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17} \]
(так как первый квадратный корень — положительный — в первой четверти)\( \cos \beta = \frac{4}{5} \), тогда:
\[ \sin \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \]
(так как в первой четверти, \( \sin \beta > 0 \))
Теперь по формуле суммы синусов и косинусов:
\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5} \]
\[ = \frac{32}{85} + \frac{45}{85} = \frac{77}{85} \]
Аналогично для косинуса:
\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{15}{17} \cdot \frac{4}{5} - \frac{8}{17} \cdot \frac{3}{5} \]
\[ = \frac{60}{85} - \frac{24}{85} = \frac{36}{85} \]
Ответ:
\[ \sin(\alpha + \beta) = \frac{77}{85} \]
\[ \cos(\alpha + \beta) = \frac{36}{85} \]
Задача 20.
Решить неравенство:
\[ \frac{x^2 + 2x - 15}{(x^2 + 4.9)^2} < 0 \]
Решение:
Обратим внимание на знаменатель: \( (x^2 + 4.9)^2 \). Он всегда положителен (или равен нулю, но \( x^2 + 4.9 > 0 \) для любого \( x \)), следовательно, не влияет на знак выражения, только на область определения — оно все \( x \), кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Тут \( x^2 + 4.9 \neq 0 \) для любого \( x \), значит, область определения вся \( \mathbb{R} \).
Значит, знак неравенства определяется числителем:
\[ x^2 + 2x - 15 \]
Разложим числитель:
\[ x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3) \]
Знак выражения зависит от знака этого произведения. Нам нужно, чтобы оно было меньше нуля:
\[ (x + 5)(x - 3) < 0 \]
Произведение отрицательно, когда множители имеют разные знаки:
- \( x + 5 > 0 \) и \( x - 3 < 0 \) → \( -5 < x < 3 \)
или
- \( x + 5 < 0 \) и \( x - 3 > 0 \) — невозможно, так как \( x - 3 > 0 \) означает \( x > 3 \), а \( x + 5 < 0 \) — \( x < -5 \), что несовместимо.
И
