Для устранения отражения света на поверхность стеклянной линзы наносится пленка вещества с показателем преломления 1,3 меньшим, чем у стекла. При какой наименьшей толщине этой…

Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, при какой минимальной толщине пленки отражение света с длиной волны 0,48 мкм исчезает. В решении будем учитывать интерференцию волн, вызываемую отражением на двух границах пленки.

Дано:

• Показатель преломления стекла: \( n_стекла \) (не указан, предположим, что в условии или используем стандартное значение — например, \( n_{стекла} \approx 1,5 \))
• Показатель преломления пленки: \( n_{пленки} = n_{стекла} - 1{,}3 \)
• Длина волны света в вакууме: \( \lambda_0 = 0,48\,\мкм = 0,48 \times 10^{-6}\, \м \)
• Угол падения: \( \theta_0 = 30^\circ \)

---

Шаг 1. Определение показателя преломления пленки

Пусть \( n_{стекла} \approx 1,5 \).

Тогда: \[ n_{пленки} = 1,5 - 1,3 = 0,2 \]

(Это очень малая величина, что может указывать на необычный материал; в реальности показатель преломления сильно меньше стеклянного — возможно, в условии имеется в виду, что показатель преломления пленки меньше стекла на 1,3, то есть \( n_{пленки} = n_{стекла} - 1,3 \). В таком случае: \[ n_{пленки} = 1,5 - 1,3 = 0,2 \] Что нереально для оптического материала, так как \( n_{пленки} \geq 1 \) обычно. Возможно, имелось в виду, что пленка имеет показатель преломления, меньший, чем у стекла, на 1,3, то есть: \[ n_{пленки} = n_{стекла} - 1,3 = 1,5 - 1,3 = 0,2 \]

или правильнее — если исходное условие о "показателе преломления меньше у стекла на 1,3", то \( n_{пленки} = n_{стекла} - 1,3 \). Поэтому:

\[ n_{пленки} \approx 1,5 - 1,3 = 0,2 \]

Это мало, но для задачи примем так.

---

Шаг 2. Рассмотрение условий интерференции

Тень исчезает при условии полного подавления отражения за счет интерференции из-за толщины пленки.
Для минимальной толщины, при которой исчезает отражение (минимальной по абсолютной величине), нужно, чтобы добавленная интерференция привела к исчезновению отражения, то есть:

\[ \text{Полуволновая} интерференция, когда сумма фаз равна половине длины волны или её целому кратному. В условии для антирефлексной пленки обычно используют условие о том, что отражающие волны по фазе отменяют друг друга, то есть: \[ 2 n_{пленки} d \cos \theta_{пленки} = \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda_{пленки} \]

где:

• \( d \) — толщина пленки,
• \( m \) — целое число (для минимального d выбираем \( m=0 \)),
• \( \lambda_{пленки} \) — длина волны в пленке.

---

Шаг 3. Определение длины волны в пленке

Длина волны в среде связана с длиной волны в вакууме:

\[ \lambda_{пленки} = \frac{\lambda_0}{n_{пленки}} \]

Подставляем значения:

\[ \lambda_{пленки} = \frac{0,48 \times 10^{-6}\, \м}{0,2} = 2,4 \times 10^{-6}\, \м \]

---

Шаг 4. Определение угла внутри пленки

Используем закон преломления (с помощью закона Снеллиуса):

\[ n_{стекла} \sin \theta_{стекла} = n_{пленки} \sin \theta_{пленки} \]

где \( \sin 30^\circ = 0,5 \):

\[ 1,5 \times 0,5 = 0,75 = 0,2 \times \sin \theta_{пленки} \] \[ \sin \theta_{пленки} = \frac{0,75}{0,2} = 3,75 \]

Так как синус не может быть больше 1, это означает, что при данных показателях преломления и угле падения отражение не будет полностью подавляться, что говорит о неправильных предположениях о показателе преломления.

Вероятно, в условии — показатель преломления пленки чуть больше или меньше (например, \( n_{пленки} = 1,3 \)), и тогда решение становится более реальным.

---

Общий вывод:

Для рассуждения возьмем, что показатель преломления пленки:

\[ n_{пленки} \approx 1,3 \]

(так как в условии говорится, что показатель преломления меньше у вещества, чем у стекла).

Тогда:

\[ \lambda_{пленки} = \frac{0,48 \times 10^{-6}}{1,3} \approx 0,369 \times 10^{-6}\, \м \]

---

Итоговое решение для минимальной толщины:

\[ 2 n_{пленки} d \cos \theta_{пленки} = \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda_{пленки} \]

Для наименьшей толщины (при \( m=0 \)):

\[ d = \frac{\lambda_{пленки}}{4 n_{пленки} \cos \theta_{пленки}} \]

Обратимся к закону преломления:

\[ \sin \theta_{пленки} = \frac{n_{стекла}}{n_{пленки}} \sin 30^\circ \]

Если \( n_{стекла} = 1,5 \), \( n_{пленки} = 1,3 \):

\[ \sin \theta_{пленки} = \frac{1,5}{1,3} \times 0,5 \approx 0,577 \]

Тогда:

\[ \cos \theta_{пленки} = \sqrt{1 - 0,577^2} \approx 0,816 \]

Теперь считаем \( d \):

\[ d = \frac{0,369 \times 10^{-6}}{4 \times 1,3 \times 0,816} \approx \frac{0,369 \times 10^{-6}}{4.245} \approx 8.7 \times 10^{-8}\, \м \]

или около 87 нм.

---

Ответ:

Минимальная толщина пленки, при которой исчезает отражение света длины волны 0,48 мкм при угле падения 30°, составляет примерно 87 нанометров.