Рассмотрим задачу подробнее.
У нас есть команда изумруд, которая играет 3 матча. В каждом матче судьба решается броском монетки:
- Вероятность того, что команда изумруд начнет игру с мячом (выиграет жребий) — ½.
- Вероятность того, что команда изумруд проиграет жребий — также ½.
И нас интересует вероятность того, что команда изумруд проиграет жребий более одного раза за 3 матча, то есть 2 или 3 раза.
Решение:
Обозначим:
- ( p = \frac{1}{2} ) — вероятность проиграть жребий в одном матче.
- ( n = 3 ) — число матчей.
Нам нужно найти вероятность события, что число проигранных жребиев больше одного, то есть:
[ P(\text{проигрывает более одного раза}) = P(2 \text{ раза}) + P(3 \ раза}) ]
Это классическая задача на биномиальное распределение, где:
[
P(k \text{ успехов}) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}
]
где (k) — число проигрышей (успехов в данном случае — проигрыш).
Вычислим:
- ( P(2 \text{ проигрыша}) = {3 \choose 2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{1} )
- ( P(3 \text{ проигрыша}) = {3 \choose 3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 )
Вычисления:
[
{3 \choose 2} = 3
]
[
P(2 \text{ проигрыша}) = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}
]
и
[
{3 \choose 3} = 1
]
[
P(3 \text{ проигрыша}) = 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{8}
]
Итоговая вероятность:
[
P(более одного раза) = P(2 \text{ проигрыша}) + P(3 \text{ проигрыша}) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
]
Ответ:
Вероятность того, что команда изумруд проиграет жребий более одного раза за 3 матча, равна (\boxed{\frac{1}{2}}) (50%).
