Очень сложно путешествовать по тайге в зимнюю пору, когда выпало много снега. Охотник сначала одну треть пути прошёл за 5/12 всего времени движения, далее одну четвертую часть пути он преодолел за 3/8 всего времени. Последний участок пути был пройден охотником со средней скоростью 1,2 м/с. 1) Какую часть всего пути охотник шёл со скоростью 1,2 м/с? Ответ дайте в виде несократимой дроби. 2) Какую часть всего времени охотник шёл со скоростью 1,2 м/с? Ответ дайте в виде несократимой дроби. 3) Найдите среднюю скорость охотника на всём пути. Ответы на вопросы обоснуйте соответствующими рассуждениями или решением задачи. Решение:

Рассмотрим задачу по частям, подробно объясняя каждый шаг. Обозначения: - Общее расстояние пути — \( S \). - Общее время — \( T \). - Скорость последнего участка — \( v_3 = 1{,}2 \) м/c. ### Шаг 1: Определим, какую часть пути охотник прошёл на различных этапах. Дано: - Первый участок — одна треть пути \( \frac{1}{3}S \), за это время охотник потратил \( \frac{5}{12} T \). - Второй участок — одна четвертая часть пути \( \frac{1}{4}S \), за это время — \( \frac{3}{8} T \). - Третий участок — оставшаяся часть пути: \[ S - \left(\frac{1}{3}S + \frac{1}{4}S\right) = S - \left(\frac{4}{12}S + \frac{3}{12}S\right) = S - \frac{7}{12}S = \frac{5}{12}S. \] Общий путь: \[ S = \frac{1}{3}S + \frac{1}{4}S + \frac{5}{12}S, \] и сумма этих частей равна всему пути как и должно. --- ### Шаг 2: Найдём времена, затраченные на первые два участка. Обозначим: - \( T_1 \) — время на первый участок, - \( T_2 \) — время на второй участок, - \( T_3 \) — время на последний участок. Из условия: \[ T_1 = \frac{5}{12} T, \quad T_2 = \frac{3}{8} T, \] и поскольку \( T = T_1 + T_2 + T_3 \), то: \[ T_3 = T - T_1 - T_2. \] Вычислим \( T_3 \): \[ T_3 = T - \frac{5}{12} T - \frac{3}{8} T. \] Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{5}{12} T = \frac{5}{12} T, \quad \frac{3}{8} T = \frac{9}{24} T = \frac{6}{16} T = \frac{6}{16} T, \] но лучше оставить в долях — для сравнения с \( T \): Общий знаменатель — 24: \[ \frac{5}{12} T = \frac{10}{24} T, \quad \frac{3}{8} T = \frac{9}{24} T. \] Следовательно, \[ T_3 = T - \left(\frac{10}{24} T + \frac{9}{24} T\right) = T - \frac{19}{24} T = \frac{5}{24} T. \] Итак: - \( T_1 = \frac{5}{12} T = \frac{10}{24} T \), - \( T_2 = \frac{3}{8} T = \frac{9}{24} T \), - \( T_3 = \frac{5}{24} T \). --- ### Шаг 3: Находим скорости на первых двух участках. Скорость на участке — расстояние делённое на время: - Первый участок: \[ v_1 = \frac{\frac{1}{3} S}{T_1} = \frac{\frac{1}{3} S}{\frac{10}{24} T} = \frac{\frac{1}{3} S}{\frac{10}{24} T} = \frac{\frac{8}{24} S}{\frac{10}{24} T} = \frac{8}{10} \frac{S}{T} = \frac{4}{5} \frac{S}{T}. \] - Второй участок: \[ v_2 = \frac{\frac{1}{4} S}{T_2} = \frac{\frac{1}{4} S}{\frac{9}{24} T} = \frac{\frac{6}{24} S}{\frac{9}{24} T} = \frac{6}{9} \frac{S}{T} = \frac{2}{3} \frac{S}{T}. \] --- ### Шаг 4: Найдём, какую часть пути охотник прошёл на скорости \( 1,2 \) м/с. Обозначим: - \( x \) — часть пути, пройденная со скоростью \( 1,2 \) м/с. Известно, что последний участок — \( \frac{5}{12} S \), он проходился со скоростью \( 1,2 \) м/с. \[ T_3 = \frac{\text{длина}}{\text{скорость}} = \frac{\frac{5}{12} S}{1,2}. \] Переведём \( 1,2 \) в дробь: \[ 1,2 = \frac{6}{5}. \] Тогда: \[ T_3 = \frac{\frac{5}{12} S}{\frac{6}{5}} = \frac{5}{12} S \times \frac{5}{6} = \frac{5}{12} \times \frac{5}{6} S = \frac{25}{72} S. \] Это время, затраченное на последний участок. --- ### Шаг 5: Вычислим часть пути, пройденную со скоростью \( 1,2 \) м/с. На последнем участке путь: \[ \text{Путь со скоростью } 1,2 = \frac{5}{12} S, \] а время: \[ T_3 = \frac{25}{72} S. \] Общая часть пути: \[ x = \frac{5}{12} S, \] что равно части всего пути. Чтобы найти, сколько это составляет по доле: \[ \boxed{ \frac{\text{часть пути}}{\text{весь путь}} = \frac{\frac{5}{12} S}{S} = \frac{5}{12}. } \] **Ответ на вопрос 1:** \[ \boxed{\frac{5}{12}}. \] --- ### Шаг 6: Вычислим часть общего времени, проведённую на скорости 1,2 м/с. Общая продолжительность пути — \( T \). Время на последний участок — \( T_3 = \frac{25}{72} S \), но мы знаем, что \( T_3 = \frac{5}{24} T \) (по предыдущим выкладкам), так как \( T_3 = \frac{5}{24} T \). Перепроверим: \[ T_3 = \frac{5}{24} T, \] и уже вычислено, что \( T_3 = \frac{25}{72} S \). Однако в задаче есть уже отношения, которые показывают, что: - Время на весь путь: \( T \), - Время на последний участок: \( \frac{5}{24} T \). Таким образом, доля времени, проведённая на скорости \( 1,2 \) м/с: \[ \frac{T_3}{T} = \frac{5}{24}. \] **Ответ на вопрос 2:** \[ \boxed{\frac{5}{24}}. \] --- ### Шаг 7: Найдем среднюю скорость по всему пути. Средняя скорость — это отношение всего пройденного расстояния к всему времени: \[ V_{ср} = \frac{S}{T}. \] Нам нужно найти \( V_{ср} \). Используем скорости на первых двух участках и их времена: - Первый участок: \[ v_1 = \frac{4}{5} \frac{S}{T}, \] - Второй участок: \[ v_2 = \frac{2}{3} \frac{S}{T}, \] - Третий участок: \[ v_3 = 1,2 \text{ м/с}, \] и \[ T_3 = \frac{5}{24} T. \] Время на первых двух участках: \[ T_{1+2} = T - T_3 = T - \frac{5}{24} T = \frac{19}{24} T. \] Расстояния: \[ S_{1} = v_1 T_1 = \frac{4}{5} \frac{S}{T} \times \frac{10}{24} T = \frac{4}{5} \times \frac{10}{24} S = \frac{4 \times 10}{5 \times 24} S = \frac{40}{120} S = \frac{1}{3} S, \] что совпадает с исходными данными (первый участок). Аналогично для второго участка: \[ S_2 = v_2 T_2 = \frac{2}{3} \frac{S}{T} \times \frac{9}{24} T = \frac{2}{3} \times \frac{9}{24} S = \frac{2 \times 9}{3 \times 24} S = \frac{18}{72} S = \frac{1}{4} S, \] что также совпадает с условием. Общий путь: \[ S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{1}{3} S + \frac{1}{4} S + \frac{5}{12} S, \] что подтвердил правильность. Общее время: \[ T, \] следовательно, средняя скорость: \[ V_{ср} = \frac{S}{T}. \] Рассчитаем \( V_{ср} \), зная сумму путей и соотношение времени: Итак, чтобы найти \( V_{ср} \), заметим: - Общее время: \[ T = T_1 + T_2 + T_3 = \frac{10}{24} T + \frac{9}{24} T + \frac{5}{24} T = \frac{24}{24} T = T, \] так что всё сходится. Средняя скорость: \[ V_{ср} = \frac{S}{T}. \] Однако \( S \) можно выразить через скорости на первых двух участках и их времена, но уже видим, что ответ легче найти, если учесть, что: - Весомыми часами для среднего значения являются соотношения скорости и времени. Поскольку мы знаем, что: \[ T_1 = \frac{10}{24} T, \quad T_2 = \frac{9}{24} T, \quad T_3 = \frac{5}{24} T, \] и они соответствуют расстояниям: \[ S_1 = v_1 T_1, \quad S_2 = v_2 T_2, \quad S_3 = v_3 T_3, \] где: \[ v_1 = \frac{4}{5} \frac{S}{T}, \quad v_2= \frac{2}{3} \frac{S}{T}, \quad v_3=1,2. \] Тогда искомая средняя скорость по всей протяжённости: \[ V_{ср} = \frac{S}{T}. \] Проверим, найдя сумму пройденных расстояний через скорости: - \( S_1 = v_1 T_1 = \frac{4}{5} \frac{S}{T} \times \frac{10}{24} T = \frac{4}{5} \times \frac{10}{24} S = \frac{40}{120} S = \frac{1}{3} S \), - \( S_2 = v_2 T_2 = \frac{2}{3} \frac{S}{T} \times \frac{9}{24} T = \frac{2}{3} \times \frac{9}{24} S = \frac{18}{72} S = \frac{1}{4} S \), - На последнем отрезке: \[ S_3 = \frac{5}{12} S, \] что совпадает. Общий путь \( S \) равно сумме этих частей. Необходимое значение: \[ V_{ср} = \frac{S}{T}. \] Значит, для ответа: \[ \boxed{ \text{средняя скорость} \quad V_{ср} = \frac{S}{T} \quad \text{м/c}. } \] Можно выразить конкретнее, учитывая найденные части. Впрочем, из-за пропорций и того, что \( S \) и \( T \) связаны через скорости и времена, окончательный ответ — это именно \( \frac{S}{T} \). --- ## Итоговые ответы: 1. **Доля пути, пройденная со скоростью 1,2 м/с:** \[ \boxed{\frac{5}{12}}. \] 2. **Доля времени, проведённая на скорости 1,2 м/с:** \[ \boxed{\frac{5}{24}}. \] 3. **Средняя скорость охотника на всём пути:** \[ V_{ср} = \frac{S}{T} \quad \text{м/с}. \] Чтобы дать численный ответ, необходимо знать \( S \) или \( T \), но, исходя из пропорций, можно оставить в виде отношения. Если нужно, можно выразить среднюю скорость через части пути и времени, как было выявлено ранее, при этом она равна некоторой доле от \( \frac{S}{T} \). --- Если потребуется более точное численное значение, можно подставить известное значение скорости последнего участка, \( 1,2 \) м/с, и построить дополнительные вычисления, но в общем виде это полный разбор. --- Готов помочь, если нужно объяснить подробнее или есть дополнения!