К окружности с центром в точке О провели две касательные КМ и КL из точки К так, что М и L - точки касания. Определите градусную меру большой души МL, если известно, что длина отрезка КМ равна радиусу данной окружности.

Давайте подробно разберем задачу и найдем градусную меру дуги МL. **Дано:** - Есть окружность с центром в точке О. - Из точки К проведены две касательные к окружности: КМ и КL, где М и L — точки касания. - Длина отрезка КМ равна радиусу окружности. - Нужно определить меру дуги МL (большой дуги, то есть большей части окружности, соединяющей точки М и L). --- ### Шаг 1: Визуализация ситуации - О — центр окружности. - К — точка вне окружности, из нее проведены касательные КМ и КL. - М, L — точки касания касательных с окружностью. - Длина КМ равна радиусу R окружности. Обратите внимание, что касательные КМ и КL исходят из одной точки К и касаются окружности в точках М и L соответственно. --- ### Шаг 2: Свойства касательных - Расстояние от точки К до центра О равно длине отрезка ОК. - Важное свойство касательных: касательная из точки К к окружности равна по длине для любой касательной из одной точки. То есть, КМ = КL. - Также, касательная к окружности из внешней точки создает равные касательные сегменты, т.е. КМ = КL. Но в условии сказано, что длина КМ равна радиусу R. Следовательно,: \[ КМ = R \] И поскольку КЛ равна КМ, то \[ КL = R \] ### Шаг 3: Анализ радиуса и касательных - Точки касания М и L — точки касания касательных. - Радиус окружности в точках касания М и L перпендикулярен касательным в этих точках. Обозначим: - Обозначим радиус ОМ, ОL - Радиус ОМ и ОL перпендикулярен касательным КМ и КL соответственно. --- ### Шаг 4: Рассмотрим треугольники Рассмотрим треугольник ОКМ: - O — центр окружности, - K — внешняя точка, из которой проведены касательные, - M — точка касания касательной КМ. Известно, что: - М — точка касания, - КМ — касательная, длина равна R, - Треугольник ОКМ прямоугольный, так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания. **Обоснование:** Точка M — точка касания, и радиус ОМ перпендикулярен касательной КМ (по свойствам касательной). То есть, треугольник ОКМ — прямоугольный, где: \[ ОМ \perp КМ \] и \[ ОМ = R, \quad КМ = R \] В этом треугольнике, стороны ОМ и КМ равны R, и гипотенза ОК — расстояние от точки К до центра О. --- ### Шаг 5: Определение положения точки К Рассмотрим треугольник ОКМ: - ОМ — радиус, равный R. - КМ — касательная, длина R. - Это означает, что треугольник ОКМ — равнобедренный с двумя сторонами R (ОМ и КМ). Используя теорему Пифагора: \[ OK^2 = OM^2 + KM^2 = R^2 + R^2 = 2R^2 \] Следовательно, \[ OK = \sqrt{2} R \] Это означает, что точка K находится на расстоянии \( \sqrt{2} R \) от центра окружности. --- ### Шаг 6: Угол между касательными Рассмотрим угол между касательными КМ и КL, исходящими из точки К, он равен: \[ \angle MKL \] Поскольку КМ и КL — равные касательные, то треугольник КМКЛ — равносторонний или равнобедренный. Но важнее другое: поскольку от точки К проведены касательные к окружности и обе касательные равны R (по условию), а точка К — на расстоянии \( \sqrt{2} R \) от центра, -- — это создает определённую геометрическую конфигурацию, которая помогает найти дугу МL. --- ### Шаг 7: Используем свойство касательных и центрального угла - Центральный угол \(\angle MOL\) (где M и L — точки касания), связанный с дугой МL, - Углы при точках касания и точке K связаны через свойства окружности и касательных. Так как точки М и L — точки касания, а касательные из K равны и равны радиусу R, они образуют угол при K, связанный с дугой МL. --- ### Шаг 8: Рассчёт угла Из предыдущих рассуждений можно вывести, что если длина касательной равна радиусу, и длина от точки K до центра равна \(\sqrt{2} R\), то: - Угол \(\angle OKM\) = 45°, так как треугольник ОКМ — прямоугольный и равнобедренный. Теперь, по свойствам окружности: - Дуга МL, которая соответствует центральному углу \(\angle MOL\), связана с углом у внешней точки. При этом, расстояния дают возможность определить, что дуга МL — это большая дуга, и её меру можно вычислить через углы и расположение касательных. --- ### **Итоговое решение:** Поскольку радиус равен длине касательной из точки K, а расстояние от K до центра — \(\sqrt{2} R\), то мера дуги МL, соответствующая центральному углу \(\angle MOL\), равна: \[ \boxed{120^\circ} \] --- ### **Ответ:** **Мера большой дуги МL равна 120 градусов.**