В амфитеатре 14 рядов, причем в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем…

Давай решим каждую задачу по порядку, с подробными объяснениями.

---

Задача 1: Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Дано:

• Всего рядов: 14
• В пятом ряду: 27 мест
• В восьмом ряду: 36 мест
• В каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем

Задача:

• Найти количество мест в последнем (14-м) ряду.

Обозначим:

• \( a_1 \) — количество мест в первом ряду
• \( d \) — разница между количеством мест в соседних рядах

Известно, что количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Дано: \[ a_5 = 27 \quad \Rightarrow \quad a_1 + 4d = 27 \] \[ a_8 = 36 \quad \Rightarrow \quad a_1 + 7d = 36 \]

Вычитая первое уравнение из второго: \[ (a_1 + 7d) - (a_1 + 4d) = 36 - 27 \] \[ 3d = 9 \quad \Rightarrow \quad d = 3 \]

Подставляем \( d=3 \) в первое уравнение: \[ a_1 + 4 \times 3 = 27 \] \[ a_1 + 12 = 27 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 15 \]

Нужно найти \( a_{14} \): \[ a_{14} = a_1 + 13d = 15 + 13 \times 3 = 15 + 39 = \boxed{54} \]

---

Задача 2: Температура вещества после 4 минут

Дано:

• Начальная температура: \(-7^\circ С\)
• За каждую минуту температура снижается на 6°С
• Время охлаждения: 4 минуты

Решение: Общая температура за 4 минуты: \[ T = T_0 - 6 \times 4 = -7 - 24 = \boxed{-31^\circ С} \]

---

Задача 3: Сколько мест в девятом ряду амфитеатра

Дано:

• Всего рядов: 12
• В первом ряду: 24 места
• В каждом следующем: на 3 места больше, чем в предыдущем

Обозначим: \[ a_1 = 24, \quad d = 3 \] Нас интересует количество мест в девятом ряду \( a_9 \): \[ a_9 = a_1 + (9-1)d = 24 + 8 \times 3 = 24 + 24 = \boxed{48} \]

---

Задача 4: Общее число мест в амфитеатре

Дано:

• Всего рядов: 14
• В первом ряду: 16 мест
• В каждом следующем: на 2 места больше

Обозначим: \[ a_1=16, \quad d=2 \] Количество мест в 14-м ряду: \[ a_{14} = 16 + 13 \times 2 = 16 + 26 = 42 \] Общее число мест — сумма арифметической прогрессии: \[ S_{14} = \frac{n}{2} (a_1 + a_{n}) = \frac{14}{2} (16 + 42) = 7 \times 58 = \boxed{406} \]

---

Задача 5: Камень, пролетающий расстояния каждую секунду

Дано:

• Первая секунда: 13 м
• Каждая следующая на 10 м больше предыдущей
• Нужно найти сумму за 5 секунд

Расстояния за каждую секунду: \[ d_1 = 13 \\ d_2 = 23 \quad (13 + 10) \\ d_3 = 33 \quad (23 + 10) \\ d_4 = 43 \quad (33 + 10) \\ d_5 = 53 \quad (43 + 10) \]

Сумма: \[ S = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (13 + 53) + (23 + 43) + 33 = 66 + 66 + 33 = 165 \]

Ответ: \(\boxed{165 \text{ метров}}\)

---

Задача 6: Сколько человек сядет за стол, если сдвинуть 17 столиков

Дано:

• Один квадратный столик: 4 человека
• Если сдвинуть 2 столика: получается стол, за который садится 6 человек
• Сдвиг — это объединение столиков, образующее новый стол

Обнаружим закономерность:

Для 2 столиков:

• Общая длина: \(2 \times \text{стол} = 2\)
• Человек: 6

Для 3 столиков максимум:

• Объединяют 3 + 1 столики (по рисунку): получается стол, за который садится 8 человек.

Общее правило: при сдвиге \(k\) столиков, человек за столом: \[ f(k) = 2k + 2 \]

Проверим:

• при \(k=2\): \(2 \times 2 + 2 = 6\) — верно
• при \(k=3\): \(2 \times 3 + 2=8\) — верно

Следовательно, для 17 столиков: \[ f(17) = 2 \times 17 + 2 = 34 + 2 = \boxed{36} \]

---

Задача 7: Масса радиоактивного изотопа через 32 минуты

Дано:

• Начальная масса: 200 мг
• Масса уменьшается вдвое каждые 8 минут

Через \( t \) минут масса: \[ m(t) = m_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{t/8} \] Подставим \( t=32 \): \[ m(32) = 200 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{32/8} = 200 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 200 \times \frac{1}{16} = \frac{200}{16} = 12.5 \] Ответ: \(\boxed{12.5 \text{ мг}}\)

---

Задача 8: Высота мяча после отскока

Дано:

• Высота после 1-го отскока: 630 см
• Каждый следующий: в три раза меньше предыдущего
• Нужно найти, после какого по счету отскока высота менее 25 см.

Обозначим: \[ h_1 = 630\, \text{см} \] После каждого следующего: \[ h_{n} = \frac{h_{n-1}}{3} \]

Итак: \[ h_2 = \frac{630}{3} = 210\, \text{см} \] \[ h_3 = \frac{210}{3} = 70\, \text{см} \] \[ h_4 = \frac{70}{3} \approx 23.33\, \text{см} \]

Высота впервые становится меньше 25 см после 4-го отскока.

Ответ: после 3-го отскока высота больше 25 см, а после 4-го — меньше 25 см.

---

Задача 9: Масса образовавшегося изотопа Б через 45 минут

Дано:

• Масса исходного изотопа А: 640 мг
• Каждые 9 минут половина массы распадается в Б
• Время: 45 минут

Количество циклов: \[ n = \frac{45}{9} = 5 \]

Масса исходного изотопа А после 5 циклов: \[ m_A = 640 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 640 \times \frac{1}{32} = 20\, \text{мг} \]

Образовалась масса изотопа Б: \[ m_B = 640 - 20 = 620\, \text{мг} \]

Ответ: \(\boxed{620\, \text{мг}}\)

---

Если нужно что-то уточнить или есть другие вопросы, обращайся!