В амфитеатре 14 рядов, причем в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра? При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6°С. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -7 °С. В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 24 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду амфитеатра? В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, | чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре? Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 13 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд? В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 17 квадратных столиков вдоль одной линии? В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 32 минуты. Ответ дайте в миллиграммах. У Ани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 630 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую под-летит мячик, станет меньше 25 см? В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 9 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б. В начальный момент масса изотопа А составляла 640 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 45 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Давай решим каждую задачу по порядку, с подробными объяснениями. --- ### Задача 1: Сколько мест в последнем ряду амфитеатра? Дано: - Всего рядов: 14 - В пятом ряду: 27 мест - В восьмом ряду: 36 мест - В каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем Задача: - Найти количество мест в последнем (14-м) ряду. Обозначим: - \( a_1 \) — количество мест в первом ряду - \( d \) — разница между количеством мест в соседних рядах Известно, что количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] Дано: \[ a_5 = 27 \quad \Rightarrow \quad a_1 + 4d = 27 \] \[ a_8 = 36 \quad \Rightarrow \quad a_1 + 7d = 36 \] Вычитая первое уравнение из второго: \[ (a_1 + 7d) - (a_1 + 4d) = 36 - 27 \] \[ 3d = 9 \quad \Rightarrow \quad d = 3 \] Подставляем \( d=3 \) в первое уравнение: \[ a_1 + 4 \times 3 = 27 \] \[ a_1 + 12 = 27 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 15 \] Нужно найти \( a_{14} \): \[ a_{14} = a_1 + 13d = 15 + 13 \times 3 = 15 + 39 = \boxed{54} \] --- ### Задача 2: Температура вещества после 4 минут Дано: - Начальная температура: \(-7^\circ С\) - За каждую минуту температура снижается на 6°С - Время охлаждения: 4 минуты Решение: Общая температура за 4 минуты: \[ T = T_0 - 6 \times 4 = -7 - 24 = \boxed{-31^\circ С} \] --- ### Задача 3: Сколько мест в девятом ряду амфитеатра Дано: - Всего рядов: 12 - В первом ряду: 24 места - В каждом следующем: на 3 места больше, чем в предыдущем Обозначим: \[ a_1 = 24, \quad d = 3 \] Нас интересует количество мест в девятом ряду \( a_9 \): \[ a_9 = a_1 + (9-1)d = 24 + 8 \times 3 = 24 + 24 = \boxed{48} \] --- ### Задача 4: Общее число мест в амфитеатре Дано: - Всего рядов: 14 - В первом ряду: 16 мест - В каждом следующем: на 2 места больше Обозначим: \[ a_1=16, \quad d=2 \] Количество мест в 14-м ряду: \[ a_{14} = 16 + 13 \times 2 = 16 + 26 = 42 \] Общее число мест — сумма арифметической прогрессии: \[ S_{14} = \frac{n}{2} (a_1 + a_{n}) = \frac{14}{2} (16 + 42) = 7 \times 58 = \boxed{406} \] --- ### Задача 5: Камень, пролетающий расстояния каждую секунду Дано: - Первая секунда: 13 м - Каждая следующая на 10 м больше предыдущей - Нужно найти сумму за 5 секунд Расстояния за каждую секунду: \[ d_1 = 13 \\ d_2 = 23 \quad (13 + 10) \\ d_3 = 33 \quad (23 + 10) \\ d_4 = 43 \quad (33 + 10) \\ d_5 = 53 \quad (43 + 10) \] Сумма: \[ S = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (13 + 53) + (23 + 43) + 33 = 66 + 66 + 33 = 165 \] Ответ: \(\boxed{165 \text{ метров}}\) --- ### Задача 6: Сколько человек сядет за стол, если сдвинуть 17 столиков Дано: - Один квадратный столик: 4 человека - Если сдвинуть 2 столика: получается стол, за который садится 6 человек - Сдвиг — это объединение столиков, образующее новый стол Обнаружим закономерность: Для 2 столиков: - Общая длина: \(2 \times \text{стол} = 2\) - Человек: 6 Для 3 столиков максимум: - Объединяют 3 + 1 столики (по рисунку): получается стол, за который садится 8 человек. Общее правило: при сдвиге \(k\) столиков, человек за столом: \[ f(k) = 2k + 2 \] Проверим: - при \(k=2\): \(2 \times 2 + 2 = 6\) — верно - при \(k=3\): \(2 \times 3 + 2=8\) — верно Следовательно, для 17 столиков: \[ f(17) = 2 \times 17 + 2 = 34 + 2 = \boxed{36} \] --- ### Задача 7: Масса радиоактивного изотопа через 32 минуты Дано: - Начальная масса: 200 мг - Масса уменьшается вдвое каждые 8 минут Через \( t \) минут масса: \[ m(t) = m_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{t/8} \] Подставим \( t=32 \): \[ m(32) = 200 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{32/8} = 200 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 200 \times \frac{1}{16} = \frac{200}{16} = 12.5 \] Ответ: \(\boxed{12.5 \text{ мг}}\) --- ### Задача 8: Высота мяча после отскока Дано: - Высота после 1-го отскока: 630 см - Каждый следующий: в три раза меньше предыдущего - Нужно найти, после какого по счету отскока высота менее 25 см. Обозначим: \[ h_1 = 630\, \text{см} \] После каждого следующего: \[ h_{n} = \frac{h_{n-1}}{3} \] Итак: \[ h_2 = \frac{630}{3} = 210\, \text{см} \] \[ h_3 = \frac{210}{3} = 70\, \text{см} \] \[ h_4 = \frac{70}{3} \approx 23.33\, \text{см} \] Высота впервые становится меньше 25 см после 4-го отскока. Ответ: **после 3-го отскока высота больше 25 см, а после 4-го — меньше 25 см.** --- ### Задача 9: Масса образовавшегося изотопа Б через 45 минут Дано: - Масса исходного изотопа А: 640 мг - Каждые 9 минут половина массы распадается в Б - Время: 45 минут Количество циклов: \[ n = \frac{45}{9} = 5 \] Масса исходного изотопа А после 5 циклов: \[ m_A = 640 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 640 \times \frac{1}{32} = 20\, \text{мг} \] Образовалась масса изотопа Б: \[ m_B = 640 - 20 = 620\, \text{мг} \] Ответ: \(\boxed{620\, \text{мг}}\) --- Если нужно что-то уточнить или есть другие вопросы, обращайся!