Рассмотрим задачу пошагово.
Дано:
- Расстояние между велосипедистами: 153 км
- Первый велосипедист движется со скоростью: ( v_1 = 10 ) км/ч
- Второй велосипедист:
- В первый час проехал: ( d_1 = 3 ) км
- В каждый следующий час:
- проезжает на 5 км больше, чем в предыдущий
Нам нужно найти, через сколько часов они встретятся.
Шаг 1: Определим путь второго велосипедиста за каждый час
- В первый час: 3 км
- Во второй час: ( 3 + 5 = 8 ) км
- В третий час: ( 8 + 5 = 13 ) км
- В четвертый: ( 13 + 5 = 18 ) км
- И так далее...
Это — прогрессия с первым членом ( a_1 = 3 ) км и разностью ( d = 5 ) км.
Общий пройденный за ( n ) часов путь:
[
S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)
]
Подставим:
[
S_n = \frac{n}{2} (2 \times 3 + (n-1) \times 5) = \frac{n}{2} (6 + 5(n-1))
]
Раскроем скобки:
[
S_n = \frac{n}{2} (6 + 5n - 5) = \frac{n}{2} (5n + 1)
]
или
[
S_n = \frac{n}{2} (5n + 1)
]
Шаг 2: Общий путь каждого велосипедиста через ( n ) часов
- Первый велосипедист за ( n ) часов:
[
\text{Путь}_1 = v_1 \times n = 10n
]
- Второй велосипедист за ( n ) часов:
[
\text{Путь}_2 = S_n = \frac{n}{2} (5n + 1)
]
Общий пройденный путь на встречу:
[
\text{Общая дистанция} = 10n + \frac{n}{2} (5n + 1)
]
Они начально находятся на расстоянии 153 км. Поэтому, чтобы встретиться, должно выполниться:
[
10n + \frac{n}{2} (5n + 1) = 153
]
Шаг 3: Решаем уравнение
[
10n + \frac{n}{2} (5n + 1) = 153
]
Раскроем скобки:
[
10n + \frac{n}{2} \times 5n + \frac{n}{2} \times 1 = 153
]
[
10n + \frac{5n^2}{2} + \frac{n}{2} = 153
]
Домножим всё на 2, чтобы избавиться от дробей:
[
2 \times 10n + 2 \times \frac{5n^2}{2} + 2 \times \frac{n}{2} = 2 \times 153
]
[
20n + 5n^2 + n = 306
]
Объединим подобные:
[
5n^2 + 21n = 306
]
Перенесем все в левую сторону:
[
5n^2 + 21n - 306 = 0
]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Используем формулу:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a=5 ), ( b=21 ), ( c=-306 ).
Посчитаем дискриминант:
[
D = 21^2 - 4 \times 5 \times (-306) = 441 + 4 \times 5 \times 306
]
[
4 \times 5 = 20
]
[
20 \times 306 = 6120
]
Значит,
[
D = 441 + 6120 = 6561
]
(\sqrt{D} = \sqrt{6561} = 81)
Теперь считаем ( n ):
[
n = \frac{-21 \pm 81}{2 \times 5} = \frac{-21 \pm 81}{10}
]
Два варианта:
- (\displaystyle n = \frac{-21 + 81}{10} = \frac{60}{10} = 6)
- (\displaystyle n = \frac{-21 - 81}{10} = \frac{-102}{10} = -10.2)
Поскольку время не может быть отрицательным, приемлемый ответ:
[
\boxed{n = 6, \text{часов}}
]
Ответ:
Велосипедисты встретятся через 6 часов.
