Два велосипедиста, находясь на расстоянии 153 км друг от друга, начали двигаться од новременно навстречу друг другу. Первый велосипедист едет со скоростью 10 км/ч, второй в первый…

Рассмотрим задачу пошагово.

Дано:

• Расстояние между велосипедистами: 153 км
• Первый велосипедист движется со скоростью: \( v_1 = 10 \) км/ч
• Второй велосипедист:
  • В первый час проехал: \( d_1 = 3 \) км
  • В каждый следующий час:
    • проезжает на 5 км больше, чем в предыдущий

Нам нужно найти, через сколько часов они встретятся.

---

Шаг 1: Определим путь второго велосипедиста за каждый час

• В первый час: 3 км
• Во второй час: \( 3 + 5 = 8 \) км
• В третий час: \( 8 + 5 = 13 \) км
• В четвертый: \( 13 + 5 = 18 \) км
• И так далее...

Это — прогрессия с первым членом \( a_1 = 3 \) км и разностью \( d = 5 \) км.

Общий пройденный за \( n \) часов путь:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \] Подставим:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2 \times 3 + (n-1) \times 5) = \frac{n}{2} (6 + 5(n-1)) \]

Раскроем скобки:
\[ S_n = \frac{n}{2} (6 + 5n - 5) = \frac{n}{2} (5n + 1) \] или
\[ S_n = \frac{n}{2} (5n + 1) \]

---

Шаг 2: Общий путь каждого велосипедиста через \( n \) часов

• Первый велосипедист за \( n \) часов:
  \[ \text{Путь}_1 = v_1 \times n = 10n \]
• Второй велосипедист за \( n \) часов:
  \[ \text{Путь}_2 = S_n = \frac{n}{2} (5n + 1) \]

Общий пройденный путь на встречу:
\[ \text{Общая дистанция} = 10n + \frac{n}{2} (5n + 1) \]

Они начально находятся на расстоянии 153 км. Поэтому, чтобы встретиться, должно выполниться:

\[ 10n + \frac{n}{2} (5n + 1) = 153 \]

---

Шаг 3: Решаем уравнение

\[ 10n + \frac{n}{2} (5n + 1) = 153 \]

Раскроем скобки:

\[ 10n + \frac{n}{2} \times 5n + \frac{n}{2} \times 1 = 153 \]

\[ 10n + \frac{5n^2}{2} + \frac{n}{2} = 153 \]

Домножим всё на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[ 2 \times 10n + 2 \times \frac{5n^2}{2} + 2 \times \frac{n}{2} = 2 \times 153 \]

\[ 20n + 5n^2 + n = 306 \]

Объединим подобные:

\[ 5n^2 + 21n = 306 \]

Перенесем все в левую сторону:

\[ 5n^2 + 21n - 306 = 0 \]

---

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Используем формулу:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a=5 \), \( b=21 \), \( c=-306 \).

Посчитаем дискриминант:

\[ D = 21^2 - 4 \times 5 \times (-306) = 441 + 4 \times 5 \times 306 \]

\[ 4 \times 5 = 20 \] \[ 20 \times 306 = 6120 \]

Значит,

\[ D = 441 + 6120 = 6561 \]

\(\sqrt{D} = \sqrt{6561} = 81\)

Теперь считаем \( n \):

\[ n = \frac{-21 \pm 81}{2 \times 5} = \frac{-21 \pm 81}{10} \]

Два варианта:

1. \(\displaystyle n = \frac{-21 + 81}{10} = \frac{60}{10} = 6\)
2. \(\displaystyle n = \frac{-21 - 81}{10} = \frac{-102}{10} = -10.2\)

Поскольку время не может быть отрицательным, приемлемый ответ:

\[ \boxed{n = 6\, \text{часов}} \]

---

Ответ:

Велосипедисты встретятся через 6 часов.