Рассмотрим задачу: есть 24 пирожка, из них 7 с повидлом. Из условия нам нужно найти дисперсию случайной величины X — количества пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных пирожков.
Шаг 1. Определение вида случайной величины
Количество пирожков с повидлом в двух выбранных — это случайная величина X, которая может принимать значения 0, 1 или 2.
Памятка:
- X = 0, если оба выбранных пирожка без повидла.
- X = 1, если один пирожок с повидлом, один — без.
- X = 2, если оба пирожка с повидлом.
Шаг 2. расчет вероятностей для X
Общее число способов выбрать 2 пирожка из 24:
[ C_{24}^{2} = \frac{24 \times 23}{2} = 276 ]
Вероятность, что оба выбранных пирожка с повидлом:
Количество способов выбрать 2 пирожка с повидлом:
[ C_{7}^{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21 ]
[ P(X=2) = \frac{21}{276} \approx 0,0761 ]
Вероятность, что один пирожок с повидлом, другой — без:
Количество способов выбрать 1 пирожок с повидлом и 1 без:
[ C_{7}^{1} \times C_{17}^{1} = 7 \times 17 = 119 ]
[ P(X=1) = \frac{119}{276} \approx 0,4319 ]
Вероятность, что оба пирожка без повидла:
Количество способов выбрать 2 пирожка без повидла:
[ C_{17}^{2} = \frac{17 \times 16}{2} = 136 ]
[ P(X=0) = \frac{136}{276} \approx 0,4938 ]
Шаг 3. Расчет математического ожидания E[X]
[
E[X] = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)
]
[
E[X] = 0 \times 0,4938 + 1 \times 0,4319 + 2 \times 0,0761
]
[
E[X] = 0 + 0,4319 + 0,1522 = 0,5841
]
Шаг 4. Расчет E[X^2]
[
E[X^2] = 0^2 \times P(X=0) + 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2)
]
[
E[X^2] = 0 + 1 \times 0,4319 + 4 \times 0,0761
]
[
E[X^2] = 0 + 0,4319 + 0,3044 = 0,7363
]
Шаг 5. Расчет дисперсии D[X]
[
D[X] = E[X^2] - (E[X])^2
]
[
D[X] = 0,7363 - (0,5841)^2
]
[
D[X] = 0,7363 - 0,3410 = 0,3953
]
Итог:
Дисперсия случайной величины X равна approximately 0,40.
Если нужно, я могу помочь дополнительно или объяснить подробнее.
