3) Колебательный контур состоит из 4-х конденсаторов и катушки индуктивности. Емкость первого конденсатора 10^-4 Ф, ёмкость второго конденсатора 49*10^-4 Ф. Во сколько раз…

Давайте подробно разберем задачу.

Задача:
Есть колебательный контур с 4 конденсаторами и катушкой индуктивности. Из условий даны емкости двух конденсаторов:

• \( C_1 = 10^{-4} \, \text{Ф} \)
• \( C_2 = 49 \times 10^{-4} \, \text{Ф} \)

Нам нужно найти, во сколько раз изменится период собственных колебаний при замыкании ключа, соединяющего два конденсатора (предположим, что они соединяются параллельно, потому что это типичный случай).

Пошаговое решение:

Шаг 1: Понять схему

Из условия ясно, что есть 4 конденсатора, часть из них, как минимум два, даны. Однако в условии указано только два емкостных элемента. Обычно в подобных задачах предполагают, что конденсаторы соединены последовательно или параллельно, что влияет на их эквивалентную емкость.

Рассмотрим два варианта:

• До замыкания — два конденсатора \( C_1 \) и \( C_2 \) соединены в цепь (например, параллельно), а остальные два неизвестны или не влияют на расчёт.
• После замыкания — конденсаторы соединяются вместе, то есть, делается замыкание, которое приводит к изменению общего эквивалентного емкостного сопротивления.

Так как условие конкретизирует только два конденсатора, предположим, что все 4 конденсатора при начальных условиях соединены параллельно (или последовательно), а после замыкания происходит соединение двух конденсаторов.

Шаг 2: Численные данные

• \( C_1 = 10^{-4} \, \text{Ф} \)
• \( C_2 = 49 \times 10^{-4} \, \text{Ф} \)

Общая емкость для двух конденсаторов при параллельном соединении: \[ C_{параллель} = C_1 + C_2 = 10^{-4} + 49 \times 10^{-4} = 50 \times 10^{-4} \, \text{Ф} = 5 \times 10^{-3} \, \text{Ф} \]

Если соединение — последовательное: \[ C_{последовательная} = \frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2} = \frac{10^{-4} \times 49 \times 10^{-4}}{10^{-4} + 49 \times 10^{-4}} \]

Подставим: \[ C_{последовательная} = \frac{(1 \times 10^{-4}) \times (49 \times 10^{-4})}{(1 + 49) \times 10^{-4}} = \frac{49 \times 10^{-8}}{50 \times 10^{-4}} = \frac{49 \times 10^{-8}}{50 \times 10^{-4}} \]

Перепишем: \[ C_{последовательная} = \frac{49 \times 10^{-8}}{50 \times 10^{-4}} = \frac{49}{50} \times 10^{-8 + 4} = 0.98 \times 10^{-4} = 9.8 \times 10^{-5} \, \text{Ф} \]

Шаг 3: Формула периода собственных колебаний

Период колебаний LC-контур: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{C}} \] где:

• \( L \) — индуктивность катушки (предположим, постоянна),
• \( C \) — общая емкость контура.

Отсюда видно:

\[ \frac{T_{новый}}{T_{старый}} = \sqrt{\frac{C_{старый}}{C_{новый}}} \]

Шаг 4: Расчет

• Исходная емкость (до соединения): предположим, что это параллельное соединение двух конденсаторов \( C_1 \) и \( C_2 \): \[ C_{исходный} = 5 \times 10^{-3} \, \text{Ф} \]

• После замыкания (предположим, что конденсаторы соединяются последовательно или параллельно), емкость станет:

  • Параллельное соединение: \( 5 \times 10^{-3} \) Ф — её менять не нужно, если это исходное состояние.
  • Последовательное соединение: \( 9.8 \times 10^{-5} \) Ф.

Ответ: — отношение периодов: \[ \frac{T_{последователь}}{T_{параллель}} = \sqrt{\frac{C_{параллель}}{C_{последователь}}} = \sqrt{\frac{5 \times 10^{-3}}{9.8 \times 10^{-5}}} \]

Посчитаем внутри корня: \[ \frac{5 \times 10^{-3}}{9.8 \times 10^{-5}} = \frac{5 \times 10^{-3}}{9.8 \times 10^{-5}} \approx \frac{5}{9.8} \times 10^{(-3 + 5)} = \frac{5}{9.8} \times 10^{2} \]

Приблизительно: \[ \frac{5}{9.8} \approx 0.51 \] поэтому: \[ 0.51 \times 10^{2} = 51 \]

Теперь берем корень: \[ \sqrt{51} \approx 7.14 \]

Ответ:

При замыкании ключа, период собственных колебаний изменится примерно в 7.14 раз.

Если необходимо округлить до тысячных: 7.140

Если есть еще уточнения или условия, — скажите.