В классе 26 учеников. Для участия в школьной эстафете необходимо выбрать 11 школьников. Сколькими способами классный руководитель может сделать свой выбор?

Задача касается комбинаторики — определения количества способов выбрать определённое число учеников из общего количества. В данном случае нужно выбрать 11 учеников из 26.

Это задача на вычисление сочетаний без повторений, которое обозначают как «выбрать k элементов из n» и рассчитывают по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n - k)!} \]

где:

• \( n! \) — факториал числа n,
• \( k! \) — факториал числа k.

Подставим значения:

\[ C(26, 11) = \frac{26!}{11! \times (26 - 11)!} = \frac{26!}{11! \times 15!} \]

Теперь необходимо найти значение этого сочетания.

Шаги решения:

1. Записать формулу:

\[ C(26, 11) = \frac{26!}{11! \times 15!} \]

2. Расписать числитель и знаменатель:

Факториал 26 — произведение всех натуральных чисел от 1 до 26, но в числителе можно сократить много умножений с факториалом 15!

3. Упростить выражение:

Поскольку
\[ 26! = 26 \times 25 \times 24 \times \dots \times 16 \times 15! \]

то

\[ C(26, 11) = \frac{26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15!}{11! \times 15!} \]

Отмена \( 15! \):

\[ C(26, 11) = \frac{26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{11!} \]

или, чтобы было проще считать, коротко:

\[ C(26, 11) = \frac{26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{11!} \]

4. Вычислить числитель:

Посчитаем числитель:

\[ 26 \times 25 = 650 \] \[ 650 \times 24 = 15\,600 \] \[ 15\,600 \times 23 = 358\,800 \] \[ 358\,800 \times 22 = 7\,893\,600 \] \[ 7\,893\,600 \times 21 = 165\,765\,600 \] \[ 165\,765\,600 \times 20 = 3\,315\,312\,000 \] \[ 3\,315\,312\,000 \times 19 = 62\,890\,928\,000 \] \[ 62\,890\,928\,000 \times 18 = 1\,132\,036\,704\,000 \] \[ 1\,132\,036\,704\,000 \times 17 = 19\,244\,624\,568\,000 \] \[ 19\,244\,624\,568\,000 \times 16 = 307\,833\,993\,088\,000 \]

Итак, числитель равен 307 833 993 088 000.

5. Вычислить \(11!\):

\[ 11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 39\,916\,800 \]

6. Разделить:

\[ C(26, 11) = \frac{307\,833\,993\,088\,000}{39\,916\,800} \]

Произведём деление:

\[ \frac{307\,833\,993\,088\,000}{39\,916\,800} \approx 771\,481\,50 \]

(Подробное деление даст точное число:

\[ C(26, 11) = 771\,546\,1 \]

Отсюда получаем, что количество способов выбрать 11 учеников из 26 равно:

\[ \boxed{771\,546} \]

Ответ: В классном составе 26 учеников, и выбрать 11 для эстафеты можно 771 546 способами.