Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение второго и четвёртого из этих чисел на 31 больше произведения первого и третьего.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Дано:

Нам нужно найти четыре последовательных натуральных числа. Обозначим их через:

\[ n, \quad n+1, \quad n+2, \quad n+3 \]

где \( n \) — натуральное число (то есть \( n \geq 1 \)).

Задача:

Произведение второго и четвертого чисел на 31 больше произведения первого и третьего. Запишем это уравнением:

\[ (n+1) \times (n+3) = 31 + n \times (n+2) \]

Теперь раскроем скобки:

\[ (n+1)(n+3) = n^2 + 4n + 3 \] \[ n(n+2) = n^2 + 2n \]

Подставим в уравнение:

\[ n^2 + 4n + 3 = 31 + n^2 + 2n \]

Теперь вычтем \( n^2 \) из обеих частей:

\[ 4n + 3 = 31 + 2n \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ 4n + 3 - 2n - 31 = 0 \]

Упростим:

\[ 2n - 28 = 0 \]

Найдем \( n \):

\[ 2n = 28 \] \[ n = 14 \]

Ответ:

Первые четыре последовательных натуральных числа:

\[ 14, \quad 15, \quad 16, \quad 17 \]

Проверка:

• Произведение второго и четвертого: \( 15 \times 17 = 255 \)
• Произведение первого и третьего: \( 14 \times 16 = 224 \)

Разница: \( 255 - 224 = 31 \), что соответствует условию задачи.

ИТОГ:

Четыре последовательных натуральных числа — 14, 15, 16 и 17.