Давайте решим уравнение 3(x - 2)(x + 4) = 2x² + x, используя дискриминант.
Шаг 1. Раскроем скобки слева:
[
3(x - 2)(x + 4)
]
Раскроем первое скобки: ( (x - 2) )
Раскроем второе скобки: ( (x + 4) )
Используем формулу разности и суммы:
[
(x - 2)(x + 4) = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8
]
Теперь умножим на 3:
[
3(x^2 + 2x - 8) = 3x^2 + 6x - 24
]
Шаг 2. Перенесем все в одну сторону уравнения:
[
3x^2 + 6x - 24 = 2x^2 + x
]
Вычитаем правую часть из обеих частей уравнения:
[
3x^2 + 6x - 24 - 2x^2 - x = 0
]
Складываем подобные члены:
[
(3x^2 - 2x^2) + (6x - x) - 24 = 0
]
[
x^2 + 5x - 24 = 0
]
Это квадратное уравнение стандартного вида: ( ax^2 + bx + c = 0 ), где:
- ( a = 1 )
- ( b = 5 )
- ( c = -24 )
Шаг 3. Вычислим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac
]
Подставляем значения:
[
D = 5^2 - 4 \times 1 \times (-24) = 25 + 96 = 121
]
Так как дискриминант положительный, решений два.
Шаг 4. Найдём корни уравнения:
Формула решения:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем значения:
[
x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 \pm 11}{2}
]
Находим два решения:
- ( x_1 = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3 )
- ( x_2 = \frac{-5 - 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8 )
Итог:
Ответ: (\boxed{x = 3 \text{ или } x = -8})
Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение какого-либо шага, пишите!
