Давайте разберём задачу по шагам и подробно объясним каждое действие.
Дано:
- Длина дифракционного спектра (положение спектра на экране) для 3-го порядка: ( L = 15,\text{см} = 0{,}15,\text{м} )
- Расстояние от линзы до экрана: ( D = 1,\м )
- Порядок дифракции: ( m = 3 )
- Диапазон видимого излучения: от ( \lambda_{min} = 394,\text{нм} = 394 \times 10^{-9},\м ) до ( \lambda_{max} = 757,\text{нм} = 757 \times 10^{-9},\м )
Задача — найти период дифракционной решётки ( d ).
Шаг 1: Связь между длиной спектра и дифракционной решёткой
Длина спектра на экране связана с длинами волн и расстоянием от решётки до экрана.
Классическая формула для дифракционной решётки, установленной перед линзой, в приближении для экрана, где происходит фокусировка, выглядит так:
[
L_m = \frac{\lambda_m D}{d \sin \theta_m}
]
Но при малых углах (\theta_m), существует приближение:
[
\sin \theta_m \approx \tan \theta_m = \frac{l_m}{D}
]
где ( l_m ) — длина спектра для порядка (m) на экране.
Для дифракции:
[
d \sin \theta_m = m \lambda
]
и при малых углах:
[
l_m = D \tan \theta_m \approx D \sin \theta_m = \frac{m \lambda D}{d}
]
Следовательно, длина спектра для конкретной длины волны:
[
l(\lambda) = \frac{m \lambda D}{d}
]
У нас есть спектр, который распространяется от ( \lambda_{min} ) до ( \lambda_{max} ) — то есть изменение длины спектра:
[
\Delta l = l(\lambda_{max}) - l(\lambda_{min})
= \frac{m D}{d} (\lambda_{max} - \lambda_{min})
]
Перепишем это в виде:
[
\Delta l = \frac{m D}{d} \Delta \lambda
]
Шаг 2: Вычисляем ( \Delta l )
Указано, что длина спектра равна 15 см = 0.15 м, это, скорее всего, ( \Delta l ) (разница длины спектра по длинам волн).
Подставляем значения:
[
0.15 = \frac{3 \times 1}{d} (\lambda_{max} - \lambda_{min})
]
Теперь найдем разницу длин волн:
[
\Delta \lambda = \lambda_{max} - \lambda_{min} = (757 - 394) \times 10^{-9} = 363 \times 10^{-9} \text{м}
]
Подставим все в уравнение:
[
0.15 = \frac{3 \times 1}{d} \times 363 \times 10^{-9}
]
[
0.15 = \frac{3 \times 363 \times 10^{-9}}{d}
]
Рассчитаем числитель:
[
3 \times 363 = 1089
]
Тогда:
[
0.15 = \frac{1089 \times 10^{-9}}{d}
]
Решаем относительно ( d ):
[
d = \frac{1089 \times 10^{-9}}{0.15}
]
[
d = \frac{1089 \times 10^{-9}}{0.15} \approx 7260 \times 10^{-9} = 7.26 \times 10^{-6},\text{м}
]
Ответ:
[
\boxed{
d \approx 7.26 \times 10^{-6},\text{м} \quad \text{или} \quad 7.26,\mum
}
]
Это — период дифракционной решётки.
Если остались вопросы или нужно более подробное объяснение — пишите!
