При изготовлении шоколадных батончиков номинальной массой 55 г вероятность того, что масса батончика будет в пределах от 53 до 57 г, равна 0,84. Найдите вероятность того, что…

Рассмотрим задачу: при изготовлении шоколадных батончиков номинальной массой 55 г вероятность того, что масса батончика находится в диапазоне от 53 до 57 г, равна 0,84. Необходимо найти вероятность того, что масса батончика отличается от номинальной более чем на 2 г.

Шаг 1. Обозначим:

• \( \mu = 55 \) г — номинальная масса.
• \( P(53 \leq X \leq 57) = 0,84 \) — вероятность того, что масса находится в диапазоне от 53 до 57 г.

Шаг 2. Перепишем диапазон в виде отклонения от среднего:

• нижний предел: \( 53 = 55 - 2 \)
• верхний предел: \( 57 = 55 + 2 \)

Значит, вероятность, что масса отличается от номинальной на не более чем 2 г, равна 0,84.

Шаг 3. Понимаем, что масса \(X\) — случайная величина, вероятно, нормально распределённая (обычно в подобных задачах предполагается нормальное распределение с известными или предполагаемыми параметрами). Тогда: \[ P(55 - 2 \leq X \leq 55 + 2) = 0,84 \]

Это соответствует интервалу, который задаёт доверительный диапазон для нормы:

\[ P(\mu - 2 \leq X \leq \mu + 2) = 0,84 \]

Шаг 4. Стандартизируем случайную величину: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

Тогда: \[ P\left(-\frac{2}{\sigma} \leq Z \leq \frac{2}{\sigma}\right) = 0,84 \]

Обозначим \(k = \frac{2}{\sigma}\). Тогда: \[ P(-k \leq Z \leq k) = 0,84 \]

Шаг 5. Определим \(k\) по стандартной нормально распределённой функции. Знаем, что: \[ P(-k \leq Z \leq k) = 0,84 \]

Это центральная вероятность, и она соответствует симметричному интервалу вокруг нуля. Тогда: \[ P(Z \leq k) = 0,5 + 0,42 = 0,92 \]

Значит, \(k\) — это квантиль стандартного нормального распределения для уровня 0,92.

Обратимся к таблице нормальных распределений или используют обратную функцию:

\[ k = z_{0,92} \]

Из таблицы или калькулятора:

\[ z_{0,92} \approx 1,41 \]

Следовательно: \[ k = 1,41 \] \[ \frac{2}{\sigma} = 1,41 \] \[ \sigma = \frac{2}{1,41} \approx 1,42 \]

Шаг 6. Теперь найдём вероятность, что отклонение от номинала больше 2 г: \[ P(|X - 55| > 2) \]

Это равно: \[ P(|X - 55| > 2) = 1 - P(|X - 55| \leq 2) = 1 - 0,84 = 0,16 \]

Ответ: вероятность того, что масса батончика отличается от номинальной больше чем на 2 г, равна 0,16 или 16%.