Рассмотрим задачу: при изготовлении шоколадных батончиков номинальной массой 55 г вероятность того, что масса батончика находится в диапазоне от 53 до 57 г, равна 0,84. Необходимо найти вероятность того, что масса батончика отличается от номинальной более чем на 2 г.
Шаг 1. Обозначим:
- ( \mu = 55 ) г — номинальная масса.
- ( P(53 \leq X \leq 57) = 0,84 ) — вероятность того, что масса находится в диапазоне от 53 до 57 г.
Шаг 2. Перепишем диапазон в виде отклонения от среднего:
- нижний предел: ( 53 = 55 - 2 )
- верхний предел: ( 57 = 55 + 2 )
Значит, вероятность, что масса отличается от номинальной на не более чем 2 г, равна 0,84.
Шаг 3. Понимаем, что масса (X) — случайная величина, вероятно, нормально распределённая (обычно в подобных задачах предполагается нормальное распределение с известными или предполагаемыми параметрами). Тогда:
[
P(55 - 2 \leq X \leq 55 + 2) = 0,84
]
Это соответствует интервалу, который задаёт доверительный диапазон для нормы:
[
P(\mu - 2 \leq X \leq \mu + 2) = 0,84
]
Шаг 4. Стандартизируем случайную величину:
[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
]
Тогда:
[
P\left(-\frac{2}{\sigma} \leq Z \leq \frac{2}{\sigma}\right) = 0,84
]
Обозначим (k = \frac{2}{\sigma}). Тогда:
[
P(-k \leq Z \leq k) = 0,84
]
Шаг 5. Определим (k) по стандартной нормально распределённой функции. Знаем, что:
[
P(-k \leq Z \leq k) = 0,84
]
Это центральная вероятность, и она соответствует симметричному интервалу вокруг нуля. Тогда:
[
P(Z \leq k) = 0,5 + 0,42 = 0,92
]
Значит, (k) — это квантиль стандартного нормального распределения для уровня 0,92.
Обратимся к таблице нормальных распределений или используют обратную функцию:
[
k = z_{0,92}
]
Из таблицы или калькулятора:
[
z_{0,92} \approx 1,41
]
Следовательно:
[
k = 1,41
]
[
\frac{2}{\sigma} = 1,41
]
[
\sigma = \frac{2}{1,41} \approx 1,42
]
Шаг 6. Теперь найдём вероятность, что отклонение от номинала больше 2 г:
[
P(|X - 55| > 2)
]
Это равно:
[
P(|X - 55| > 2) = 1 - P(|X - 55| \leq 2) = 1 - 0,84 = 0,16
]
Ответ: вероятность того, что масса батончика отличается от номинальной больше чем на 2 г, равна 0,16 или 16%.
